2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простой делитель
Сообщение04.06.2017, 22:46 


21/04/17
8
Докажите или опровергните следующее утверждение: Среди чисел вида $p, 2(p-1)+1, 3(p-1)+1...n(p-1)+1$, где $p$ - простое, $n$ - натуральное найдётся число которое имеет простой делитель не имеющийся у других.
Из условия нетрудно вывести, что $n\geqslant p+1$ иначе этим самым простым делителем было бы само число $p$.
Пытался доказать что найдется такое $q<n$, что если $s(p-1)+1$ делится на $q$, то $q+s>n$, однако не уверен, что это верно, ибо утверждение задачи не обязательно истинно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.06.2017, 07:51 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.06.2017, 20:00 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой делитель
Сообщение07.06.2017, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Reyg в сообщении #1222138 писал(а):
Из условия нетрудно вывести, что $n\geqslant p+1$ иначе этим самым простым делителем было бы само число $p$.

Вот и все. Опровержение состоялось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой делитель
Сообщение07.06.2017, 21:16 


03/06/12
2745
Reyg в сообщении #1222138 писал(а):
ибо утверждение задачи не обязательно истинно.

А разве это не есть опровержение?

-- 07.06.2017, 22:17 --

Чуть опоздал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой делитель
Сообщение07.06.2017, 21:21 


21/04/17
8
Не могу понять, ведь может найдётся какое то простое $q$ удовлетворяющее условию.
Объясните пожалуйста, почему опровержение верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой делитель
Сообщение07.06.2017, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Почему "опровержение"? Мне показалось, что это просто очевидный частный случай, который ТС уже разобрал. И хочет исследовать общий.

-- 07.06.2017, 21:25 --

Reyg
А вы распишите подробнее, что там при $n\leqslant p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой делитель
Сообщение07.06.2017, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Я неаккуратно сформулировал свою мысль. Уточню: уже доказано, что при некоторых натуральных $n$ утверждение верно. Беда в том, что в исходном утверждении не уточняется, должно ли оно выполняться для всех натуральных $n$, или хотя бы для некоторых (можно подставить и квантор всеобщности, и квантор существования). Если там подразумевается квантор всеобщности, то ничего еще не доказано, а если квантор существования - то все сделано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой делитель
Сообщение07.06.2017, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А! Вот как! Да, я тоже несколько озадачилась тем, какие же значения принимает $n$. Но думаю все-таки имеется в виду любое (фиксированное) натуральное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой делитель
Сообщение08.06.2017, 08:01 


21/04/17
8
provincialka в сообщении #1223144 писал(а):
А! Вот как! Да, я тоже несколько озадачилась тем, какие же значения принимает $n$. Но думаю все-таки имеется в виду любое (фиксированное) натуральное.

Да вы правы, $n$ - любое натуральное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой делитель
Сообщение15.06.2017, 06:12 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Пусть при некотором $k_0$ число: $k_0(p-1)+1=q$- простое (такие $k_0$ существуют), тогда, выбирая в качестве $n$ любое из множества $n=k_0, k_0+1,\dots ,k_0+(q-1),$ будем получать наборы чисел, в которых на $q$ делится только $k_0(p-1)+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой делитель
Сообщение15.06.2017, 16:18 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
При $p=2$ или $p=3$ утверждение верно, помогает теорема Чебышева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простой делитель
Сообщение17.06.2017, 14:06 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Утверждение верно для всех $p$ при $n$ больших некоторого $n_0(p)$, что следует из формулы для числа простых в арифметической прогрессии меньших $x: \pi (x, p-1, 1)=\dfrac x{\varphi (p-1)\ln x}\left (1+O(\dfrac 1{\ln x})\right ), \varphi (p-1)-$функция Эйлера.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group