интегрируемость по Риману и первообразная

[malykh89]

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Опровергнуть примерами следующие утверждения:
1) если f(x) интегрируема по Риману на [a,b], то f(x) имеет на [a,b] первообразную;
2) если f(x) имеет на [a,b] первообразную, то f(x) интегрируема по Риману на [a,b].

Добавлено спустя 24 секунды:

Плиз, приведите эти примеры.

[Brukvalub]

В 1. посмотрите на характер разрывов производной, в 2 - пример построить труднее, но его можно найти в книге Гелбаум Б., Олмстед Дж. — Контрпримеры в анализе

[malykh89]

а конкретно можно, пожалуйста? Хотя бы по первому.

[zoo]

malykh89 писал(а):

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Опровергнуть примерами следующие утверждения:
1) если f(x) интегрируема по Риману на [a,b], то f(x) имеет на [a,b] первообразную;
2) если f(x) имеет на [a,b] первообразную, то f(x) интегрируема по Риману на [a,b].

Добавлено спустя 24 секунды:

Плиз, приведите эти примеры.

дайте определение первообразной на отрезке

[Brukvalub]

Какие разрывы может иметь производная всюду дифференцируемой функции?

[malykh89]

бог его знает. в условии задачи не дано.

Добавлено спустя 52 секунды:

Brukvalub
это риторический вопрос?

[zoo]

malykh89 писал(а):

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Опровергнуть примерами следующие утверждения:
1) если f(x) интегрируема по Риману на [a,b], то f(x) имеет на [a,b] первообразную;
2) если f(x) имеет на [a,b] первообразную, то f(x) интегрируема по Риману на [a,b].

Добавлено спустя 24 секунды:

Плиз, приведите эти примеры.

1) f(x)=sgn(x); -a=b=1 --- если это классический анализ
2) сперва ответьте на вогпрос Брюкволюба, или на мой

[Brukvalub]

malykh89 писал(а):

Brukvalub
это риторический вопрос?

Ну очень риторический, риторичнее не бывает
Боюсь, что при таких знаниях Ваш исходный вопрос плавно перейдет в риторический!
Читаем и образовываемся! http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5_%D0%94%D0%B0%D1%80%D0%B1%D1%83_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8#.D0.9E.D0.B1.D0.BE.D0.B1.D1.89.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5

[malykh89]

а кто сказал, что f(x) непрерывна?

[ewert]

Brukvalub писал(а):

malykh89 писал(а):

Brukvalub
это риторический вопрос?

Ну очень риторический, риторичнее не бывает
Боюсь, что при таких знаниях Ваш исходный вопрос плавно перейдет в риторический!
Читаем и образовываемся! http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5_%D0%94%D0%B0%D1%80%D0%B1%D1%83_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8#.D0.9E.D0.B1.D0.BE.D0.B1.D1.89.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5

вот не надо, вот только этим не надо образовываться, ни в коем случае!

Во-первых, там нет ровным счётом ничего насчёт возможных разрывов производной.

Во-вторых, некая конкретная информация там всё же есть, и она вполне недвусмысленна: если предельные значения функции на концах интервала совпадают, то, дескать, образ отрезка для этой функции представляет собой точку. И этот факт воистину любопытен.

[AD]

ewert и malykh89, ну там как раз всё, что надо, и есть. В самом низу. Это действительно упражнение на свойство Дарбу. Точная производная всегда принимает промежуточные значения, следовательно, достаточно сочинить интегрируемую по Риману функцию, не принимающую некоторые промежуточные значения.

А по второму пункту классический пример $F(x)=x^2\sin\frac1{x^2}$ - не думаю, что его можно придумать самостоятельно. Ну в смысле $F(x)$ является первообразной для некоторой функции, которая, тем не менее, не интегрируема по Риману.

[ewert]

В самом низу там написано буквально следующее:

если $f_+(a)\leqslant f_-(b)$, то $f([a;b])=[f_+(a);f_-(b)]$;
если $f_+(a)\geqslant f_-(b)$, то $f[a;b])=[f_-(b);f_+(a)]$.

Да ещё и с массой опечаток. Так вот, это а) абсолютный бред, б) ни малейшего отношения к свойству производной принимать все промежуточные значения (действительно имеющего место быть) не имеет и в) вообще не имеет ни малейшего отношения к делу.

А контрпример с синусом (или там косинусом) единицы на икс, домноженным на подходящую степень -- действительно классичен для второго вопроса. Только вот в предложенной ссылке ни малейшего намёка на этот контрпример не содержится.

[malykh89]

По правде говоря, абсолютно не понимаю, как испльзуется это свойство Дарбу... Может, плиз, кто пояснит, как все это связать?

Добавлено спустя 1 минуту 53 секунды:

ewert
некая конкретная информация там всё же есть, и она вполне недвусмысленна: если предельные значения функции на концах интервала совпадают, то, дескать, образ отрезка для этой функции представляет собой точку.


Хе-хе. Откуда Вы это взяли?

[AD]

ewert, да, наверное, вы внимательнее меня это прочитали. Действительно, глупость там.

ewert писал(а):

Только вот в предложенной ссылке ни малейшего намёка на этот контрпример не содержится.

Это не утверждалось. Ссылка касается только первого пункта.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

А контрпример с синусом (или там косинусом) единицы на икс, домноженным на подходящую степень -- действительно классичен для второго вопроса. Только вот в предложенной ссылке ни малейшего намёка на этот контрпример не содержится.

А вы мою ссылочку и впрямь почитали, или просто гневаться изволите, поскольку с утречка не в духе???
На всякий случай, специально для ewertа повторю, что я писал по 2-й задаче:

Brukvalub писал(а):

в 2 - пример построить труднее, но его можно найти в книге Гелбаум Б., Олмстед Дж. — Контрпримеры в анализе

Кстати, из данной мной ссылки про т. Дарбу значимыми были слова (цитирую):
"Обобщение

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции."
Именно до них я и дочитал, после чего дал ссылку. Эти слова вы, ewert тоже считаете неверным заявлением?