2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 12:10 


29/07/08
536
Треугольник имеет углы $\alpha, \beta, \gamma$.
Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 13:23 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
$$\frac{R}{r}=\frac{R}{\frac{2S}{a+b+c}}=\frac{R(a+b+c)}{4R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 14:08 


29/07/08
536
И я также решал. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 15:36 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
Побережный Александр в сообщении #1225373 писал(а):
И я также решал. :D

В Википедии есть более красивая формула:
$\frac{r}{R}=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1$.

Но я не знаю, из каких соображений ее можно вывести... :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Только немножко наоборот: отношение радиусов вписанной и описанной окружности равно сумме косинусов без единички. Мне нравится симпатичная предельная геометрическая интерпретация: если взять маленький кружок и описать около него очень тупоугольный треугольник, то радиус описанной окружности будет очень большим. Отношение будет стремиться к нулю с увеличением тупоугольности. Два косинуса будут стремиться к единичке, один к минус единичке, а всё выражение тоже к нулю.
Выводится сзаду наперёд с помощью теоремы косинусов и, возможно, формулы Герона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 16:32 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
gris в сообщении #1225399 писал(а):
немножко наоборот

Спасибо, поправил!
Это моя рассеянность... :facepalm:
И всё равно:
полчаса мне не хватило, чтобы вывести ее
gris в сообщении #1225399 писал(а):
с помощью теоремы косинусов и, возможно, формулы Герона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Ну это метод самый прямой и тупой. Просто в равенстве оставляем только стороны и получаем справа и слева многочлены четвёртой степени. Главное — внимательно раскрывать скобки. Любопытные школьники помнят такое множество соотношений в треугольнике, что легко выводят любые формулы за пару шагов. Потом за этим делом надо лезть в справочники, и становится не очень интересно. Мне нравится, когда есть наглядная иллюстрация формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 18:18 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Это формула Карно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение14.06.2017, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Если умножить на $R$ и перенести его в левую часть, и увидеть на чертеже вписанные и центральные угла, опирающиеся на стороны, то будет равенство суммы радиусов и суммы расстояний (со знаками) от центра описанной окружности до сторон. То есть из формулы Карно формула с косинусами очень наглядно выводится. А как доказать ФК?
Впрочем, доказать уже готовую формулу не так сложно, как её получить из ниоткуда. Вот это завораживает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение радиусов
Сообщение15.06.2017, 07:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
$$a=c\cos\beta+b\cos\gamma$$
$$b=\dots$$
$$c=\dots$$
Поэтому
$$(a+b+c)(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1)=a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma = \frac2R \cdot \frac12  (aR\cos\alpha+bR\cos\beta+cR\cos\gamma)=\frac{2}{R} \cdot S$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group