2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 11:34 


21/05/16
844
Аделаида
Задача такая: Для всех $n<100$ найти хоть одно решение уравнения $x^y=y^x+n$ или доказать что таковых не существует.
Вот что нашел я:
$$3^2=2^3+1$$
$$4^2=2^4+0$$
$$2^5=5^2+7$$
$$2^6=6^2+28$$
$$2^7=7^2+79$$
$$3^4=4^3+17$$
Кто найдет больше?

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 12:08 


05/09/16
2085
$n=n^1-1^n+1$ так что подходит любое неотрицательное целое $n$
То есть, решения для любого $n$: $x=n+1, y=1$
$n=47$, тогда $x=48, y=1$ и $48^1=1^{48}+47$

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 12:14 


21/05/16
844
Аделаида
Я забыл написать что я тоже их нашел, и искать надо нетривиальные.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 12:25 
Заслуженный участник


06/07/11
3895
kotenok gav в сообщении #1224931 писал(а):
Кто найдет больше?
За вычетом тривиальных случаев (когда $x$ или $y$ равны 1 или $x=y$) других нет. Я нашел этому чудестное доказательство, но поля этой книги слишком малы не уверен в его строгости.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 12:26 


21/05/16
844
Аделаида
Покажите-ка!

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 12:28 


05/09/16
2085
kotenok gav
Если $x$ и $y$ вещественные, то решение найдется для любого $n$.
Если $x$ и $y$ натуральные большие единицы, то до сотни вы нашли все $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 12:47 


21/05/16
844
Аделаида
Опять забыл сказать... Да, они натуральные, но как доказать что это все $n$ меньшие сотни ($x$, $y$ не обязательно меньше сотни)?

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 12:53 
Заслуженный участник


06/07/11
3895
kotenok gav в сообщении #1224940 писал(а):
Покажите-ка!
Это нельзя назвать доказательством, скорее, просто наблюдение:
1. С ростом $x$ или $y$ разница между $x^y$ и $y^x$ растет.
2. С ростом разности $x - y$ разница между $x^y$ и $y^x$ так же растет.
Соответственно, надо найти такую пару $x$ и $y$, чтобы $x = y + 1$ и $x^y - y^x > 100$. Это $x=4$ и $y=5$. Далее остается перебрать все варианты, когда одно из чисел не больше четырех (то есть 2, 3 или 4), а второе легко подбирается, начиная с 2.
В принципе, если доказать п. 1 и 2, думаю, утверждение можно считать доказанным...

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 13:04 


21/05/16
844
Аделаида
1. Предположим, растет у. Тогда уменьшаемое - степенная функция, а вычитаемое - показательная. Вывод: разность уменьшается.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 13:11 
Заслуженный участник


06/07/11
3895
Утверждения 1 и 2 у меня в предыдущем посте - это одно и то же, на самом деле. Второе необходимое утверждение - при $x = y + 1$ c ростом $x$ разница между $x^y$ и $y^x$ так же растет.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 13:34 


21/05/16
844
Аделаида
Значит, они оба неправильные :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 13:55 
Заслуженный участник


06/07/11
3895
В такой формулировке - да, но я плохо сформулировал. Если все правильно записать, о чем я думаю, то там все нормально должно быть. Сейчас что-то лень, может, попозже :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 20:31 
Аватара пользователя


22/07/08
852
Одесса
По-умничаю немножко:

$1^0=0^1+1$

:D

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 20:38 


05/09/16
2085
Ну я думаю план (очень дикий) примерно такой.

С помощью вольфрам альфы находим предел $\lim \limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^{x+\Delta x}-(x+ \Delta x)^x}{\Delta x}=x^x(\ln(x)-1)$, так что этот предел
- больше нуля для $x>e$
- растет при росте $x$

Делаем очень глубокомысленный вывод о том, что функция $f(x,t)=x^{x+t}-(x+t)^x$
- больше нуля для $x>e$ и $t>0$
- растет (и по $x$ и по $t$) везде где $x>e$ и $t>0$ (в том числе при $t=1$).

Далее находим, что $f(4,1)=399>100$, так что начиная с $x=4$ и $y=x+1$ решений $x^y=y^x+n$ где $n<100$ -- нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^y=y^x+n
Сообщение13.06.2017, 23:36 


05/09/16
2085
По-человечески надо бы конечно честно посчитать $f'_x(x,1)$ и убедиться что она больше нуля где надо (начиная с $x=e$, например), но у меня просто и элегантно этого сделать не получилось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group