2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Получить разностную схему для ДУ второго порядка
Сообщение09.06.2017, 18:40 


28/02/17
3
Здравствуйте, мне нужно получить разностную схему интегро-интерполяционным методом.
Вот условие
$ \frac{1}{r}   \frac{ \partial }{ \partial r}(r  \lambda \frac{ \partial U}{ \partial r}) +  \frac{1}{r^{2} } \frac{ \partial }{ \partial  \varphi }( \lambda  \frac{ \partial U }{ \partial  \varphi  } ) + f(M) = 0$
Как я понял, мне дано дифференциальное уравнение второго порядка.
Нужно получить разностную схему. Вот до чего я дошел
$ \int \int  (\frac{1}{r}   \frac{ \partial }{ \partial r}(r  \lambda  \frac{ \partial U}{ \partial r}) +  \frac{1}{r^{2} } \frac{ \partial }{ \partial  \varphi }( \lambda  \frac{ \partial U }{ \partial  \varphi  } ) + f(M))  \partial r \partial  \varphi  = 0$
Распишем как сумму интегралов.
$\int \int  \frac{1}{r}   \frac{ \partial }{ \partial r}(r  \lambda \frac{ \partial U}{ \partial r})\partial r \partial  \varphi  +   \int \int\frac{1}{r^{2} } \frac{ \partial }{ \partial  \varphi }( \lambda  \frac{ \partial U }{ \partial  \varphi  } )\partial r \partial  \varphi  +  \int \int f(M)  \partial r \partial  \varphi  = 0$
Интегрируем на ячейке по двум переменным(перейдем к повторному интегралу)
$\int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \frac{1}{r}   \frac{ \partial }{ \partial r}(r  \lambda \frac{ \partial U}{ \partial r})\partial r \int_{  \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} \partial  \varphi + \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \frac{1}{r^{2}} \partial r  \int_{  \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}}   \frac{ \partial }{ \partial  \varphi }( \lambda  \frac{ \partial U }{ \partial  \varphi  } ) \partial  \varphi +  \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \int_{  \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}}  f(M)  \partial r \partial  \varphi=0$
Можете сказать, на верном ли я пути и правильно ли всё делаю, если нет, то можете указать на ошибку.
Повторюсь, мне нужна только разностная схема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить разностную схему для ДУ второго порядка
Сообщение13.06.2017, 05:01 


28/02/17
3
Подправил последнюю формулу
$ \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \frac{1}{r}   \frac{ \partial }{ \partial r}(r  \lambda  
 \frac{ \partial U}{ \partial r}) r\partial r \int_{  \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}}  
 \partial  \varphi + \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \frac{1}{r^{2}} \partial r  \int_{  \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}}   \frac{ \partial }{ \partial  \varphi }( \lambda  \frac{ \partial U }{ \partial  \varphi  } ) \partial  \varphi +  \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \int_{  \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}}  f(M)  \partial r \partial  \varphi$
Для удобства сделаем замены:
$F = -( \lambda \frac{ \partial U}{ \partial r})$(1)
$W = -( \lambda  \frac{ \partial U }{ \partial  \varphi  } ) $
$ \upsilon  = \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \int_{  \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}}  f(M)  \partial r \partial  \varphi $
Я разобрался с первым интегралом...
$ \int_{r_{n-\frac{1}{2}}}^{r_{n+\frac{1}{2}}} \frac{1}{r}   \frac{ \partial }{ \partial r}(r F) r\partial r \int_{  \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}}  
 \partial  \varphi$
Отсюда->
$\int_{  \varphi _{n} }^{\varphi _{n+1}} ( r_{n- \frac{1}{2}} F_{n- \frac{1}{2}} - r_{n+ \frac{1}{2}} F_{n+ \frac{1}{2}})\partial  \varphi$, что в свою очередь равно
$ \Delta [ \sigma ( r_{n- \frac{1}{2}}  \widehat{F}_{n- \frac{1}{2}} -r_{n+ \frac{1}{2}} \widehat{F}_{n+ \frac{1}{2}}) +
(\sigma - 1)(r_{n- \frac{1}{2}}  F_{n- \frac{1}{2}} -r_{n+ \frac{1}{2}} F_{n+ \frac{1}{2}})]$(2)

-- 13.06.2017, 05:44 --

Завершу решение первого интеграла.
(2) я получил с помощью двухточечной квадратурной формулы с весами $ \sigma$ и $\sigma - 1$.
F- это поток, проинтегрируем его(формула (1))
$  \int_{r_n}^{r_{n+1}}  \frac{\partial U} { \partial r}  \partial r = - \int_{r_n}^{r_{n+1}} \frac{F}{\lambda}\partial r$
$ u_{n} -  u_{n+1} =  F_{n +  \frac{1}{2} } \int_{r_n}^{r_{n+1}} \frac{1}{\lambda}\partial r  $
$F_{n +  \frac{1}{2} }  \approx  k_{n +  \frac{1}{2} }  \frac{u_{n} -  u_{n+1} }{h} $.
Аналогично находим $F_{n -  \frac{1}{2} },    \widehat{F_{n -  \frac{1}{2} }},   \widehat{F_{n +  \frac{1}{2} }} $
А вот со вторым интегралом не знаю что делать из-за присутствующего $ \frac{1}{r^{2}}  $.
Можете помочь?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group