Помогите разобраться с частными производными сложной функции

[tremor]

Никак не могу разобраться как оно правильно работает уже в течение длительного времени (с функцией одной переменной естественно проблем нет).

Даны две функции:
$u=f(x^2+y^2+z^2)$ и $u=f(x,xy,xyz)$ (абсолютно разные не связанные друг с другом функции)

Из теории известно, что частые производные берутся следующим образом
$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\ldots+\ldots$

И так по всем компонентам.

Но я не понимаю, как оно должно выглядеть в развернутом виде

[svv]

Почему у Вас две разные функции (одна зависит от одного аргумента, другая от трёх) обозначены одной буквой $f$?

[tremor]

svv в сообщении #1224257 писал(а):

Почему у Вас две разные функции (одна зависит от одного аргумента, другая от трёх) обозначены одной буквой $f$?

потому, что это абсолютно разные функции никак не зависящие друг от друга. Просто хочу разобраться как действовать когда функция зависит от одного сложного аргумента, а когда от трех

[svv]

Начнём с первого примера.
Дана функция $u=f(v)$. Пусть аргумент $v$ сам является функцией $x, y, z$:
$v=g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
Тогда $u=h(x, y, z)=f(g(x, y, z))$. Функция $h$ — композиция двух функций. Можете сделать следующий шаг?

[tremor]

svv в сообщении #1224270 писал(а):

Начнём с первого примера.
Дана функция $u=f(v)$. Пусть аргумент $v$ сам является функцией $x, y, z$:
$v=g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
Тогда $u=h(x, y, z)=f(g(x, y, z))$. Функция $h$ — композиция двух функций. Можете сделать следующий шаг?

С первым примером вроде все ясно, т.e. на примере $x$ компоненты поступаем так:
$\frac{\partial{u}}{\partial{f}}\cdot\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = 2x \cdot f' $

Если выписывать по отдельности выходит:
$\frac{\partial{u}}{\partial{f}} = f'= f'(x^2+y^2+z^2)$ - заносим под штрих только $f$, потому что внутрь функции еще не смотрели
$\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = 2x$ - берем аргумент функции по x

Дальше в силу симметрии понятно что изменится только буква в конечном ответе.

А как быть со вторым примером где несколько аргументов?

[Someone]

tremor в сообщении #1224309 писал(а):

А как быть со вторым примером где несколько аргументов?

У Вас же в первом сообщении написано:

tremor в сообщении #1224256 писал(а):

Из теории известно, что частые производные берутся следующим образом
$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\ldots+\ldots$

Вот и берите формулу из учебника.

У Вас там $f(u,v,w)$, где $u=x$, $v=xy$, $w=xyz$.

[tremor]

Someone в сообщении #1224325 писал(а):

tremor в сообщении #1224309 писал(а):

А как быть со вторым примером где несколько аргументов?

У Вас же в первом сообщении написано:

tremor в сообщении #1224256 писал(а):

Из теории известно, что частые производные берутся следующим образом
$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\cdot\frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\ldots+\ldots$

Вот и берите формулу из учебника.

У Вас там $f(u,v,w)$, где $u=x$, $v=xy$, $w=xyz$.

Да, уже тоже разобрался

-- 11.06.2017, 19:00 --

Остался последний вопрос, как получаются производные второго порядка? На примере всё той же $x$ компоненты из первого примера, в ответе:
$\frac{\partial{u}}{\partial{x^2}} = 2xf'(x^2+y^2+z^2)+4x^2f''(x^2+y^2+z^2)$

что никак до меня не доходит:

разве не должно быть просто $2f''(x^2+y^2+z^2)$ ?

[svv]

Взяли первую производную, получилось произведение $2x$ и $f'$. При втором дифференцировании применили формулу производной произведения, а потом ко второму сомножителю — формулу производной сложной функции.

[Someone]

tremor в сообщении #1224349 писал(а):

$\frac{\partial{u}}{\partial{x^2}} = 2xf'(x^2+y^2+z^2)+4x^2f''(x^2+y^2+z^2)$

В формуле две опечатки.
Во-первых, вторая частная производная обозначается $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$.
Во-вторых, в правой части первое слагаемое не должно содержать множителя $x$.

[tremor]

svv в сообщении #1224412 писал(а):

Взяли первую производную, получилось произведение $2x$ и $f'$. При втором дифференцировании применили формулу производной произведения, а потом ко второму сомножителю — формулу производной сложной функции.

Да, спасибо, теперь разобрался в одной из самых для себя неудобоваримых тем

[svv]

А можно я Вам тогда задам трудную-претрудную задачу?
Переменная $u$ зависит от переменных $y_1, \ldots, y_m$.
Каждая из переменных $y_1, \ldots, y_m$ зависит от переменных $x_1,\ldots, x_n$.

Выразить производную $\frac{\partial u}{\partial x_k}$ через производные $u$ по игрекам и производные игреков по иксам.
Это довольно общий случай. Ваши примеры — его частные случаи. Справитесь — значит, точно разобрались.

[tremor]

Если я правильно осознал степень вложенности, для $k$-того икса:
$\frac{\partial{u}}{\partial{x}_k} = \frac{\partial{u}}{\partial{y_k}}\cdot\frac{\partial{y_k}}{\partial{x_k}}$

Ну а если вложенность конечная, то просто пробежать так по каждой компоненте и сложить все полученные производные

[provincialka]

tremor в сообщении #1224574 писал(а):

Если я правильно осознал степень вложенности

Нет, похоже неправильно.

svv в сообщении #1224455 писал(а):

Каждая из переменных $y_1, \ldots, y_m$ зависит от переменных $x_1,\ldots, x_n$.

В смысле, что каждая -- от всех.

-- 12.06.2017, 13:05 --

И вообще у вас какая-то своя терминология... насчет "степени вложенности", которая к тому же может быть"конечной" .В каком смысле?

[svv]

Да, конечно, каждый игрек зависит от каждого икса. Поэтому к выбранному нами $x_k$ игрек с тем же индексом, $y_k$, никакого особого отношения не имеет. К $x_k$ имеют отношение все игреки.

tremor в сообщении #1224574 писал(а):

просто пробежать так по каждой компоненте и сложить все полученные производные

Похоже на правду. А как это реализовать в виде формулки?