2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти предел периметра ломаной
Сообщение11.06.2017, 18:20 


24/05/17
64
Здравствуйте. В перерывах между ЕГЭ не торопясь готовлюсь к математическому анализу. Прорешиваю Демидовича для ВТУЗов.
Найти предел при $n\to\infty$ периметра ломаной $M_0 M_1 \ldots M_n$, вписанной в логарифмическую спираль $r=e^{-\varphi}$, если вершины этой ломаной соответственно имеют полярные углы $\varphi_0=0,\varphi_1=\frac{\pi}{2}, \ldots ,\varphi_n=\frac{n\pi}{2}$
График нарисовал. По точкам кратным $\frac{\pi}{2}$ ломанную построил.
http://s019.radikal.ru/i617/1706/d2/3cf312ff53c4.png
Длины сегментов $$\sum\limits_{x=0}^{n} e^{-x\frac{\pi}{2}}= \frac{1-e^{-n\frac{\pi}{2}}}{1-e^{-\frac{\pi}{2}}}$$, что в при $n\to\infty$ даёт $\frac{1}{1-e^{-\frac{\pi}{2}}} = 1.26243$.
В ответе $\frac{\sqrt{e^{\pi}+1}}{e^{\frac{\pi}{2}}-1}=1.28942$. Немного промахнулся.
Какими путями они пришли к такому ответу?
P.S
Правильно было бы взять $\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}$$\sqrt{(\frac{d}{dx}e^{-x})^{2}+(e^{-x})^2}dx$? Я его взял $ \sqrt{2}e^{-x}$. Он равен численно $1.40151$
Заранее благодарен за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел периметра ломаной
Сообщение11.06.2017, 19:58 


24/05/17
64
Разобрался.
Посмотрел длины сегментов в ДСК, потом составил их сумму. Получилась вот такая штука $\sqrt{e^{\pi}+1}(e^{-\frac{\pi}{2}}+e^{-\pi}+e^{-\frac{3\pi}{2}}+\ldots)$. Сумма первых членов этой прогрессии равна $S=\frac{1}{e^\frac{\pi}{2}-1}$. Следовательно, вся длинна равна $\frac{\sqrt{e^{\pi}+1}}{e^\frac{\pi}{2}-1}$
Вопрос в другом теперь. Эта формула - грубый аналог длинны дуги в полярных координатах? Считаем по "избранным" хорошим углам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел периметра ломаной
Сообщение11.06.2017, 21:12 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
PlotF в сообщении #1224387 писал(а):
Эта формула - грубый аналог длинны дуги в полярных координатах?
Можно ответить «да», в том смысле, что предел бесконечной суммы длин сегментов (при стремлении угла между соседними вершинами к нулю) равен длине дуги. Только, по-моему, этот предел особого отношения к полярным координатам не имеет. Мы вынуждены их использовать в начале, потому что в них задана кривая. Дальше надо найти координаты вершин и длины сегментов. Тут можно использовать и декартовы координаты (в этой задаче это даже удобнее), на результат это не влияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел периметра ломаной
Сообщение11.06.2017, 22:49 


24/05/17
64
svv
Спасибо за пояснение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group