2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение14.02.2017, 22:13 
Аватара пользователя


26/02/14
118
so dna
vicvolf в сообщении #1192654 писал(а):
Данная проблема тесно связана с проблемой Варинга
Даже я вижу, что данная проблема вообще не связана с проблемой Варинга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение18.02.2017, 18:51 


23/02/12
1531

(оффтоп и попытка захвата темы)

Andrey A в сообщении #1191335 писал(а):
grizzly в сообщении #1185996 писал(а):
$$x^3+y^3+z^3=k.$$

Легко доказать, что уравнение $x^3+y^3+z^3=1$ имеет бесконечное множество решений в целых числах $x, y, z.$ Это следует, например, из тождества $$(9n^4)^3+(1-9n^3)^3+(3n-9n^4)^3=1$$ для $n=1,2, ... $.

Нетрудно доказать, что уравнение $x^3+y^3+z^3=t^2$ имеет бесконечное множество решений в различных натуральных числах $x, y, z, t.$ Доказательство вытекает из тождества
$$(u^4+2u)^3+(2u^3+1)^3+(3u^2)^3=(u^6+7u^3+1)^2.$$ Например, для $u=2$ получаем $20^3+17^3+12^3=121^2=11^4. $ Таким образом, здесь имеем также решение уравнения $x^3+y^3+z^3=w^4$ в натуральных числах $x, y, z, w.$

Несколько слов по затронутой выше теме для информации.
Бесконечность количества целых решений данных уравнений можно доказать без всяких тождеств путем оценки количества целых решений данных уравнений снизу, исходя из очень простых соображений.
Например бесконечность количества целых решений рассмотренного выше уравнения:
$x^3+y^3+z^3=1$ (1).
Запишем это уравнение в виде:
$x^3+y^3=1-z^3$ или
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=(1-z)(1-z+z^2)$.
Рассмотрим первое уравнение:
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=0$. (2)
Оно имеет бесконечное число целых решений на прямой:
$y=-x$
В квадрате со стороной $[-N,N]$ данное уравнение имеет:
$R_2(N)=2N+1=O(N)$.
Рассмотрим второе уравнение:
$(1-z)(1-z+z^2)=0$. (3)
Оно имеет одно целое решение:
$z=1$, т.е.
$R_1(N)=1=O(1)$.
Результирующее уравнение (1) имеет количество решений не меньше, чем произведение количества решений уравнений (2) и (3), поэтому оно имеет бесконечное количество целых решений.
Нижняя асимптотическая оценка количества целых решений уравнения (1) в кубе со стороной $[-N,N]$ равна:
$R_3(N) \geq R_2(N) \cdot R_1(N) = 2N+1=O(N)$.

Еще одно рассмотренное выше уравнение:
$x^3+y^3+z^3=t^2$. (4)
Запишем уравнение (4) в виде:
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=t^2-z^3$.
Первое уравнение:
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=0$. (5)
Оно имеет бесконечное число целых решений на прямой:
$y=-x$
В квадрате со стороной $[-N,N]$ данное уравнение имеет:
$R^1_2(N)=2N+1=O(N)$.
Рассмотрим второе уравнение:
$t^2=z^3$. (6)
Оно также имеет бесконечное число решений:
$t=v^3, z=v^2$, (7)
где $v$- произвольное целое число.
В квадрате со стороной $[-N,N]$ данное уравнение имеет:
$R^2_2(N)=O(N^{1/3})$.
Результирующее уравнение (4) имеет количество решений не меньше, чем произведение количества решений уравнений (5) и (6), поэтому оно имеет бесконечное количество целых решений.
Нижняя асимптотическая оценка количества целых решений уравнения (4) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ равна:
$R_4(N) \geq R^1_2(N) \cdot R^2_2(N) =O(N^{4/3})$.

Аналогично доказывается бесконечность количества целых решений более общего уравнения:
$x^{2k+1}+y^{2k+1}+z^n=t^m$, (8)
где $k,n,m$ - натуральные числа, $(n,m)=1$.
Запишем уравнение (8) в виде:
$(x+y)(x^{2k}+x^{2k-1}y+...+y^{2k})=t^m-z^n$.
Первое уравнение:
$(x+y)(x^{2k}+x^{2k-1}y+...+y^{2k})=0$. (9)
Оно имеет бесконечное число целых решений на прямой:
$y=-x$
В квадрате со стороной $[-N,N]$ данное уравнение имеет:
$R^1_2(N)=2N+1=O(N)$.
Рассмотрим второе уравнение:
$z^n=t^m$. (10)
Уравнение (10) имеет бесконечное количество число целых решений:
$t=v^n, z=v^m$,
где $v$-произвольное целое число.
В квадрате со стороной $[-N,N]$ данное уравнение имеет:
$R^2_2(N)=O(N^{1/m})$.
Результирующее уравнение (8) имеет количество решений не меньше, чем произведение количества решений уравнений (9) и (10), поэтому оно имеет бесконечное количество целых решений.
Нижняя асимптотическая оценка количества целых решений уравнения (8) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ равна:
$R_4(N) \geq R^1_2(N) \cdot R^2_2(N) =O(N^{1+1/m})$.

Подробнее здесь ссылка удалена

 Профиль  
                  
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение20.02.2017, 11:14 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5665
 !  vicvolf, замечание за попытку захвата темы.
Пост обвёрнут в тег оффтоп. Ссылка на саморекламу удалена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение08.06.2017, 21:01 


13/11/15
8
В этой работе https://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/publi/penta.pdf заявлено, что решена задача о замощении плоскости выпуклыми пятиугольниками

 Профиль  
                  
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение08.06.2017, 21:13 
Аватара пользователя


11/06/12
7460
Минск
Это та, которую Марджори Райс решала? И что говорится, что новых замощений быть не может?

 Профиль  
                  
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение08.06.2017, 23:42 


13/11/15
8
Да, та самая. Говорится, что существует ровно 15 типов пятиугольников, дающих замощения. Классифицировать сами замощения - это абсолютно безнадежная задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение09.06.2017, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4080
a1981 в сообщении #1223477 писал(а):
Классифицировать сами замощения - это абсолютно безнадежная задача.
Безнадёжно сложная или безнадёжно бессмысленная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение09.06.2017, 12:16 


13/11/15
8
grizzly в сообщении #1223555 писал(а):
a1981 в сообщении #1223477 писал(а):
Классифицировать сами замощения - это абсолютно безнадежная задача.
Безнадёжно сложная или безнадёжно бессмысленная?

Как мне кажется, безнадежная в смысле отсутствия сколь либо легко формулируемого ответа.

(Оффтоп)

А задача классификации всех групп безнадежна сложная или безнадежно бессмысленная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение09.06.2017, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4080
Спасибо, я понял.
a1981 в сообщении #1223579 писал(а):
А задача классификации всех групп безнадежна сложная или безнадежно бессмысленная?
Сложная. Но смысл в ней есть. Даже в не самых полных классификациях и / или разных подходах, я думаю (я не специалист в этом).

 Профиль  
                  
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение09.06.2017, 12:39 


13/11/15
8
grizzly, я просто пытался понять, где Вы проводите разницу между безнадежной сложностью и безнадежной бессмысленностью...

Частичных результатов про замощения много. Например, для каждого пятиугольника из списка
видимо можно найти простейшее периодическое замощение. Есть результаты по классификации замощений с малым числом пятиугольников в фундаментальной области относительно группы симметрий и т.д. Есть большие серии примеров, например недавно были построены две бесконечные серии топологически различных замощений с группами симметрии $C_n$ и $D_n$. Еще бывают спиральные замощения.

Проблема в том, что при попытке классификации кроме перебора особых методов пока не видно, а перебор видимо не заканчивается. Даже в периодическом случае видимо существуют сколь угодно сложные замощения. А как может хотя бы выглядеть ответ, если периодичности не требовать - совсем непонятно. И насколько я понимаю (хотя я тоже не совсем специалист, просто задача из детства, которая мне нравится), в существование какого-то разумного ответа никто не верит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Top-10/5 в математике
Сообщение09.06.2017, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4080
a1981
Спасибо ещё раз. Как раз такую степень развёрнутости ответа я ожидал в идеале.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group