Минимальная длина кода

[graft]

Есть проверочная матрица

$$H=\begin{pmatrix} 1 0 1 1 1 \\ 1 1 1 0 0 \\ 1 1 0 1 0 \end{pmatrix}$$

Нужно определить минимальную длину кода C, понял что можно по формуле $d_{min}(C)\geq S+1$, где S это количество независимых столцов, как их найти?

[fractalon]

Не знаю, что формально означает "минимальная длина кода", но количество независимых столбцов ищут через приведение матрицы к диагональному виду.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

fractalon в сообщении #1222410 писал(а):

через приведение матрицы к диагональному виду.

Лучше к ступенчатому. И воспользоваться для этого элементарными преобразованиями строк. Тогда линейно независимые столбцы можно указать сразу.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1222424 писал(а):

И воспользоваться для этого элементарными преобразованиями строк

Вы имеете ввиду в данном случае?

[Someone]

Ну, если мы ищем линейно независимые столбцы, то преобразовывать лучше строки. Если будем преобразовывать столбцы, то они перепутаются.

Правда, у меня есть смутные опасения, что слово "независимость" у ТС может означать не линейную независимость, а что-то другое.

[Sender]

Вероятно, имеется в виду не "минимальная длина кода", а минимальное кодовое расстояние. У него действительно есть связь с линейной независимостью столбцов проверочной матрицы.

-- Вт июн 06, 2017 11:18:37 --

Вот такая теорема имеет место.

Цитата:

Если любые l≤d-1 столбцов проверочной матрицы H линейного (n,k)-кода линейно независимы, то минимальное расстояние кода будет по меньшей мере d. Если при этом найдутся d линейно зависимых столбцов, то минимальное расстояние кода равно d.

Собственно, достаточно повнимательнее посмотреть на матрицу, чтобы увидеть ответ.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1222502 писал(а):

Ну, если мы ищем линейно независимые столбцы, то преобразовывать лучше строки. Если будем преобразовывать столбцы, то они перепутаются.

А мне, в свете этого

graft в сообщении #1222338 писал(а):

где S это количество независимых столцов

кажется, что ТС нужен именно ранг матрицы и тогда то, как его проще вычислять, может зависеть от самой матрицы (иногда проще пошаманить со столбцами).

[Someone]

Sinoid в сообщении #1222653 писал(а):

может зависеть от самой матрицы (иногда проще пошаманить со столбцами)

Разумеется. Здесь три строки и пять столбцов. Я бы преобразовывал строки, поскольку их меньше. Но я думаю, что если считать арифметические операции, то большой разницы не будет.