Замена в уравнении поверхности 2ого порядка

[integrallebega]

Извиняюсь за второй вопрос с этой задачей. Тут просто другой вопрос, а редактировать тот пост уже нельзя.

Задание:

Поверхность задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК). Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности. Найдите каноническую систему координат. Сделайте проверку . Выполните рисунок поверхности в канонической системе координат. Проверьте правильность нахождения канонического уравнения по инвариантам.

$$4x^2 + y^2 + 9z^2 + 4xy - 12xz - 6yz + 6x -2y -6z + 11 = 0$$

Матрица

$$P=\begin{pmatrix}-\frac 2{\sqrt{14}} & -\frac 1{\sqrt{5}} & \frac 6{\sqrt{70}} \\-\frac 1{\sqrt{14}} & \frac 2{\sqrt{5}} & \frac 3{\sqrt{70}} \\\frac 3{\sqrt{14}} & 0 & \frac 5{\sqrt{70}} \end{pmatrix}$$

По проверке

$$P^T \cdot A \cdot P$$

все сходится. Матрица P найдена верно.

Далее выполним преобразование переменных:

$$ 14\tilde{x}^2 + (6,-2,-6) \cdot \begin{pmatrix}-\frac 2{\sqrt{14}} & -\frac 1{\sqrt{5}} & \frac 6{\sqrt{70}} \\-\frac 1{\sqrt{14}} & \frac 2{\sqrt{5}} & \frac 3{\sqrt{70}} \\\frac 3{\sqrt{14}} & 0 & \frac 5{\sqrt{70}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \tilde{x} \\ \tilde{y} \\ \tilde{z} \\ \end{pmatrix} +11 = 14\tilde{x}^2 - {\frac{28}{\sqrt{14}}} \cdot \tilde{x} - {\frac{10}{\sqrt{5}}} \cdot \tilde{y} + 11 $$

Теперь нужно с помощью замены получить каноническое уравнение. В этом и проблема.

Решил по инвариантам, получился параболический цилиндр, его каноническое уравнение:

$$\tilde{y}^2 = 2p\tilde{x} , p > 0$$

*В каноническом уравнении цилиндра двойные тильдочки, но как их писать в faq я не нашел

[Lia]

*Пишите другие буковки. $(u,v,w)$, например.

[ewert]

integrallebega в сообщении #1221979 писал(а):

*В каноническом уравнении цилиндра двойные тильдочки, но как их писать в faq я не нашел

$\tilde{\tilde x}$ \tilde{\tilde x}

integrallebega в сообщении #1221979 писал(а):

Теперь нужно с помощью замены получить каноническое уравнение. В этом и проблема.

Сделайте пару сдвигов. Сначала спрячьте икс под полный квадрат, а потом объедините оставшуюся константу с игреком.

[integrallebega]

ewert в сообщении #1221988 писал(а):

$\tilde{\tilde x}$ \tilde{\tilde x}

Ахах, гениально, сейчас исправлю

integrallebega в сообщении #1221979 писал(а):

Теперь нужно с помощью замены получить каноническое уравнение. В этом и проблема.
Сделайте пару сдвигов. Сначала спрячьте икс под полный квадрат, а потом объедините оставшуюся константу с игреком.

$$ 14x^2 - 2 \cdot 14x \cdot {\frac{1}{\sqrt{14}}} + {\frac{1}{\sqrt{14}}}^2 = (14x - {\frac{1}{\sqrt{14}}})^2 $$

Так?

-- 04.06.2017, 16:49 --

А, нет, я чет бред написал

Просто делим все на 14 и получается

$$ x^2 - 2x + 1 - {\frac{\frac{10}{\sqrt{5}}}{14}} + {\frac{11}{14}} - 1 = (x-1)^2 - {\frac{\frac{10 \cdot y }{\sqrt{5}}}{14}} + {\frac{11}{14}} - 1 $$

[integrallebega]

Смотрите, в итоге получается

$$ x^2 - 2x + 1 - {\frac{\frac{10 \cdot y}{\sqrt{5}}}{14}} + {\frac{11}{14}} - 1 = (x-1)^2 - {\frac{\frac{10 \cdot y }{\sqrt{5}}}{14}} + {\frac{11}{14}} - 1 = (x-1)^2 - {\frac{1}{14}}(\frac{10 \cdot y}{\sqrt{5}} - 3) $$

Как избавиться от коэффициентов

$$y$$

?