Два способа выражения двойного отношения точек прямой

[Rusit8800]

Двойное отношение точек определяется как

$$\[\frac{{\overrightarrow {AC} }}{{\overrightarrow {CB} }}:\frac{{\overrightarrow {AD} }}{{\overrightarrow {DB} }}\]$$

В книге Я.П.Понарина встречалось другое обозначение:

$$\[\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {BD} }}:\frac{{\overrightarrow {AC} }}{{\overrightarrow {CD} }}\]$$

Тогда, по идее, должно выполняться равенство:

$$\[\frac{{\overrightarrow {AC} }}{{\overrightarrow {CB} }}:\frac{{\overrightarrow {AD} }}{{\overrightarrow {DB} }} = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {BD} }}:\frac{{\overrightarrow {AC} }}{{\overrightarrow {CD} }}\]$$

Доказать это у меня почему-то не получалось. Пытался выражать одни вектора через другие, например $\[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \]$, но такие преобразования только все усложняли.

[Xaositect]

Они не равны. Они получаются друг из друга переименовыванием точек: $A, B, C, D \mapsto A, D, B, C$.

[gris]

В первом отношении присутствует целый отрезок $AD$, а во втором нет ни его, ни $DA$. Как же может выполняться равенство? На контрпример возьмите, когда все три маленьких отрезка равны.
А, ну при переименовывании точек появляется большой отрезок. Это я к тому, что иногда перед доказательством полезно проверить на простеньких примерах.

[Rusit8800]

Xaositect в сообщении #1220857 писал(а):

Они получаются друг из друга переименовыванием точек: $A, B, C, D \mapsto A, D, B, C$.

Это как?

[arseniiv]

Просто одно двойное отношение определяется немного не так, как второе. На самом деле это одна и та же величина, просто для вычисления её по разным определениям надо брать точки в разном порядке. Ведь вы же знаете, что двойное отношение определяется именно для упорядоченного набора точек.

Это как определили бы разность $a-'b = (-a)+b$ вместо обычного $a+(-b)$. Вроде отличается, а вроде и то же самое, поменяй мы аргументы местами.

[Rusit8800]

Тогда мне не понятно, как определяется двойное отношение. До этого я запоминал визуально. Так, в первом случае присутствовал вектор $\overrightarrow {AD}$, покрывающий все точки, а во втором его там нет.

[arseniiv]

Ну, просто определяется для каждого упорядоченного набора из четырёх точек, как бинарные операции типа сложения и деления определяются для упорядоченных пар чисел. Обозначение у него, конечно, хитрое, но на деле это просто операция на четвёрках точек.

-- Чт июн 01, 2017 15:01:43 --

Т. е. можно его было бы обозначить, скажем, $b(A,B,C,D)$. (И определить любым из двух упоминавшихся способов.)

[Rusit8800]

arseniiv в сообщении #1220887 писал(а):

И определить любым из двух упоминавшихся способов.

А почему еще можно вторым способом определить, а не только первым?

[provincialka]

С самого начала непонятно, у какого набора точек вы берете это отношение? Как-то обозначьте его, что ли. Хотя бы как в Вики: ${ (AB,CD)={\frac {AC}{BC}}:{\frac {AD}{BD}}}$
(я бы предпочла, конечно, запись ${ (AB,CD)={\frac {AC}{CB}}:{\frac {AD}{DB}}}$, но на результат такая замена не влияет.)

Заметьте, тут точки сгруппированы в пары. И переставлять их совсем произвольно нельзя.

[Rusit8800]

provincialka в сообщении #1220972 писал(а):

Заметьте, тут точки сгруппированы в пары.

Ну да, чето есть такое.

-- 01.06.2017, 15:33 --

provincialka в сообщении #1220972 писал(а):

но на результат такая замена не влияет

Если в векторах, то влияет. Я предпочитаю работать именно с ними.

[provincialka]

Rusit8800 в сообщении #1220994 писал(а):

Если в векторах, то влияет.

Не влияет, так как перестановка происходит в двух парах, а "минус на минус ...", как сами знаете.

И, конечно, двойное отношение никто не рассматривет "по модулю", это бы обесценило его, лишив инвариантности.

[iifat]

Вопрос, как по мне, несколько похож на «является ли ноль натуральным числом?»

Шалтай-Болтай, Алиса в Зазеркалье писал(а):

Когда я беру слово, оно означает то, что я хочу, не больше и не меньше!

Ну, так частенько поступают авторы математических книг.

[Rusit8800]

provincialka в сообщении #1221047 писал(а):

И, конечно, двойное отношение никто не рассматривет "по модулю", это бы обесценило его, лишив инвариантности.

Так оно вроде и так всегда положительно.

[provincialka]

Чего? С чего это? Вовсе нет!

[BVR]

Может лучше чере простые отношения?
$(AB,CD) = \frac{(AB,C)}{(AB,D)}$

-- Чт июн 01, 2017 23:20:51 --

И еще. Одинаково ли расположение точек в разных книгах?