2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Обобщенная лемма Титу
Сообщение28.05.2017, 17:45 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
В зарубежной литературе (впрочем, как и в отечественной) часто встречается следующее неравенство, именуемое леммой Титу:
$$\[\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{a_i^2}}{{{b_i}}}}  \geqslant \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }}\]$$
для $a_i \geqslant 0$ и $b_i > 0$.
Интересно, остается ли оно верным
$$\[\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{a_i^k}}{{{b_i}}}}  \geqslant \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)}^k}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }}\]$$
для некоторого $\[k \in \mathbb{R}\]$ не равного $2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение28.05.2017, 17:53 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Посмотрите на неравенство Гельдера (Коши-Буняковского при $k=2$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение28.05.2017, 18:03 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Посмотрел, что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение28.05.2017, 19:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Rusit8800 в сообщении #1219476 писал(а):
Посмотрел, что дальше?
Еще раз посмотрите.
Rusit8800 в сообщении #1219463 писал(а):
остается ли оно верным
Остается.

Тем не менее, слова "Обобщенная лемма Титу" или "обобщенное неравенство Титу" уже зарезервированы под неравенство другого вида:
$$\sum\limits_{i = 1}^n \frac{a_i^k}{b_i^{k-1}}  \geqslant \frac{\left( \sum\limits_{i = 1}^n a_i \right)^k}{\left(\sum\limits_{i = 1}^n b_i \right)^{k-1}}$$, верного для всех натуральных показателей $k$, неотрицательных числителей и положительных знаменателей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение28.05.2017, 21:02 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Интересно, а верно $$\[\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{a_i^k}}{{b_i^{k - 1}}}}  \geqslant \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)}^k}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }}\]$$
Оно обобщает сразу два этих неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение28.05.2017, 21:16 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Rusit8800
Вот и проверьте. Генерировать неравенства можно в неограниченном количестве. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение28.05.2017, 21:27 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Otta в сообщении #1219518 писал(а):
Еще раз посмотрите.

Возведем неравенство Гёльдера $$\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i\le\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1\over p} \cdot\left(\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{1\over q}$$
в степень $qp$, получим $$\[{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} } \right)^{q + p}} \leqslant {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^p} } \right)^p}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^q} } \right)^q}\]$$ с учетом того, что $qp=q+p$.
Далее, делаем замену $\[{a_i} = \sqrt[p]{{{y_i}}}\]$ и $\[{b_i} = \frac{{{x_i}}}{{\sqrt[p]{{{y_i}}}}}\]$ и получаем: $$\[\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{x_i^q}}{{y_i^{\frac{q}{p}}}}}  \geqslant \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)}^{q + p}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} }}\]$$При $q=p=2$ получаем немного усиленное неравенство Титу: $$\[\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{a_i^2}}{{{b_i}}}}  \geqslant \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)}^4}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }}\]$$
Это хорошо, но что-то мне никак не удается получить ваши неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение28.05.2017, 21:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Степени перепутаны:
Rusit8800 в сообщении #1219566 писал(а):
$$\[{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} } \right)^{q + p}} \leqslant {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^p} } \right)^p}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^q} } \right)^q}\]$$

А потом вообще куда-то делись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение28.05.2017, 22:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Rusit8800 в сообщении #1219549 писал(а):
Интересно, а верно

Если $a$ мерять в килограммах, а $b$ - в метрах, то получается лажа.
Значит, оно неверно (ну, окромя случая $k=2$).
Добропорядочные неравенства обязаны уважать размерность...

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение29.05.2017, 10:02 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
DeBill в сообщении #1219586 писал(а):
Добропорядочные неравенства обязаны уважать размерность...

Это троллинг?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение29.05.2017, 10:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4610
Rusit8800 в сообщении #1219665 писал(а):
Это троллинг?
Это не троллинг, и вот почему.
Пусть Ваше неравенство с $k>2$ верно для каких-то конкретных нетривиальных $\{a_i\}$, $\{b_i\}$ (да-да, помню, Вы хотите чтобы оно было верно для всех, но начнём с малого).
Оставьте все $a_i$ прежними, а все $\{b_i\}$ увеличьте в $N$ раз, где $N$ - достаточно большое число. Что произойдёт с отношением левой и правой частей неравенства?

-- 29.05.2017, 10:10 --

Эта операция сродни "переходу к другим единицам измерения", и показывает, почему "добропорядочные неравенства обязаны уважать размерность".

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение29.05.2017, 10:15 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Если вы имеете ввиду это неравенство
$$\[\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{a_i^k}}{{b_i^{k - 1}}}}  \geqslant \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)}^k}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }}\]$$
то по идее ничего не изменится, так как получится
$$\[\frac{1}{N} \cdot \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{a_i^k}}{{b_i^{k - 1}}}} } \right) \geqslant \frac{1}{N} \cdot \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)}^k}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }}\]$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение29.05.2017, 10:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4610
Да, я имею в виду это неравенство.
Посмотрите внимательнее, впрямь ли ничего не изменится.

-- 29.05.2017, 10:21 --

Считайте что $k>2$. Для $k=2$ Ваше неравенство совпадает с настоящим обобщённым неравенством Титу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение29.05.2017, 11:56 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Rusit8800
В последнем неравенстве - ошибка: слева должно быть $N^{k-1}$.
О "добропорядочности" : точное объяснение привел Mikhail_K
Конечно, по жизни встречаются и неравенства типа "пусть $x+y = 1$, $x,y$ - положительны. Докажите, что $4xy \leqslant 1$". Реально, единички в правых частях должны быть "размерными"; фактически, здесь произошла фиксация единиц измерения. Их можно "разфиксировать": обозначим $1=z$, получим задачу: "$x+y = z$. Доказать, что $4xy \leqslant z^2$". Польза от такой "однороднизации" состоит в удобстве контроля правильности выкладок при громоздких преобразованиях: все слагаемые должны быть "правильных" степеней. Часто помогает угадать путь, на котором надо искать решение (в примере: ага, надо возвести равенство в квадрат...)
Недостаток: многа буков...

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенная лемма Титу
Сообщение31.05.2017, 12:32 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
DeBill в сообщении #1219681 писал(а):
В последнем неравенстве - ошибка: слева должно быть $N^{k-1}$.

Может тогда $\frac{1}{{{N^{k - 1}}}}$?
Mikhail_K в сообщении #1219673 писал(а):
Посмотрите внимательнее, впрямь ли ничего не изменится.

После сокращения
$$\frac{1}{{{N^{k - 1}}}} \cdot \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{a_i^k}}{{b_i^{k - 1}}}} } \right) \geqslant \frac{1}{N} \cdot \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)}^k}}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }}$$
на $\frac{1}{N}$ получим, что левая часть уменьшилась в ${{N^{k - 2}}}$ раз.

-- 31.05.2017, 12:35 --

DeBill в сообщении #1219681 писал(а):
в примере: ага, надо возвести равенство в квадрат...

Такое чувство, что когда вы записали
DeBill в сообщении #1219681 писал(а):
$4xy \leqslant z^2$

то уже до этого знали, что надо возводить в квадрат. Почему там например не $z$ стоит в правой части?

-- 31.05.2017, 12:39 --

Есть книга, в которой можно почитать про метод размерностей в неравенствах, чтобы поподробнее с ним познакомиться? А то мне кажется, что это секретная техника, которой владеют только Mikhail_K и DeBill.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group