2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Какая-то странная прогрессия
Сообщение28.05.2017, 13:40 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Нужно "свернуть" такую последовательность:
$$\[n({10^3} - 1) + {n^2}({10^4} - 1) + {n^3}({10^5} - 1) +  \ldots  + {n^{k - 1}}({10^{k + 1}} - 1)\]$$
Сначала я подумал, что это геометрическая прогрессия, со знаменателем $\[an\]$, где $a$ - какое-то число. Но это не так: величина $\[\frac{{{{10}^k} - 1}}{{{{10}^{k - 1}} - 1}}\]$ зависит от $k$. Далее решил проверить, является ли константой изменение изменения знаменателя, но и это оказалось неправдой: $\[\frac{{{{10}^k} - 1}}{{{{10}^{k - 1}} - 1}} - \frac{{{{10}^{k - 1}} - 1}}{{{{10}^{k - 2}} - 1}}\]$ также зависит от $k$. У меня два вопроса:
1) Что это за прогрессия?
2) Есть ли формула суммы первых членов обобщенной геометрической прогрессии, в которой можно задать скорость изменения знаменателя(как в обычной геометрической прогрессии), скорость изменения изменения знаменателя, скорость изменения изменения изменения знаменателя и т.д. по аналогии со скоростью, ускорением, рывком...?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какая-то странная прогрессия
Сообщение28.05.2017, 13:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Rusit8800 в сообщении #1219378 писал(а):
Сначала я подумал, что это геометрическая прогрессия

Это очевидная разность двух геомпрогрессий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какая-то странная прогрессия
Сообщение28.05.2017, 13:52 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Ох, точно. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какая-то странная прогрессия
Сообщение28.05.2017, 17:34 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Вопрос 2 остается открытым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какая-то странная прогрессия
Сообщение28.05.2017, 19:35 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Это приводит к страшным гипергеометрическим функциям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какая-то странная прогрессия
Сообщение28.05.2017, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Rusit8800 в сообщении #1219378 писал(а):
в которой можно задать скорость изменения знаменателя(как в обычной геометрической прогрессии)
В обычной геометрической прогрессии знаменатель постоянный, не изменяется. Какая скорость изменения знаменателя?
А если Вы имеете в виду "скорость изменения члена последовательности", то она постоянная в арифметической прогрессии, а не в геометрической.
Короче, запишите свою "обобщённую геометрическую прогрессию" в виде формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какая-то странная прогрессия
Сообщение28.05.2017, 20:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Мне подумалось, речь идёт о последовательностях (назовём их $(n+1)$-геометрическими прогрессиями) вида $(aq_i^i)_i$, где $(q_i)_i$$n$-геометрическая прогрессия, и 1-г. п. — это просто г. п. (Rusit8800: найдите, что такое 0-г. п. и $(-1)$-г. п.).

-- Вс май 28, 2017 22:56:09 --

С другой стороны, в качестве первой из тех штуковин могла иметься в виду $(aq_i^i)_i$, где $(q_i)_i$ — арифметическая прогрессия. Тогда красивую иерархию не построить, если не занумеровать её индексами из моноида $\{A,G\}^+$, и в обратную сторону в ней идти чуть менее тривиально. И, разумеется, формулы для сумм — отдельная проблема.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group