2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оптимизационная задача
Сообщение28.05.2017, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Пусть дана вогнутая (выпуклая вверх) функция $f(x)$ на отрезке $[0,1]$ такая что 0\le f(x)\le \min\{x,1-x\}$ и $f(c)=d$, $0<c<1$. Найти максимум и минимум интеграла $$ I=\int_0^1\frac{dx}{(2-f(x))^2}.$$

Стала решать графически, нарисовала область для $f$ (треугольник) и точку $(c,d)$ в нем. Чтобы интеграл сделать минимальным, желательно функцию сделать везде меньше. Исходя из вогнутости получается, что нужно взять ломаную, соединяющую точки $(0,0)$, $(c,d)$ и $(1,0)$. А вот как сделать интеграл максимальным? Я сначала думала проводить через точку $(c,d)$ различные прямые до пересечения со сторонами треугольника, и максимизировать по ним, но не уверена. Графически тут уже не очевидно. Видимо, нужно применять вариационное исчисление. Но как в таких условиях формализовать задачу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимизационная задача
Сообщение28.05.2017, 11:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
alisa-lebovski в сообщении #1219319 писал(а):
Чтобы интеграл сделать минимальным, желательно функцию сделать везде меньше. Исходя из вогнутости получается, что нужно взять ломаную, соединяющую точки $(0,0)$, $(c,d)$ и $(1,0)$.

Верно.

А максимальным он будет, если взять четырёхугольник, верхняя сторона которого проходит через точку фиксации. В каком именно положении -- надо считать; но, во всяком случае, вариационное исчисление тут не при чём. Просто экстремум функции одной переменной, причём выписываемой явно, но, скорее всего, довольно корявой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимизационная задача
Сообщение28.05.2017, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Я тоже так сначала подумала, но засомневалась. Подумала, что лучше более строгий формальный метод. Как доказать, что нужно поступать именно таким образом, а не искать какую-то хитрую кривую?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимизационная задача
Сообщение28.05.2017, 12:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
alisa-lebovski в сообщении #1219360 писал(а):
Как доказать, что нужно поступать именно таким образом, а не искать какую-то хитрую кривую?

Дело в том, что у любого такого графика в точке фиксации есть касательная. Возможно, и не одна, но уж хотя бы одна-то точно есть. А если касательная зафиксирована -- функция будет поточечно максимальна, когда её график упрётся в эту касательную и в боковые стороны. Следовательно, только наклоны верхней стороны и нужно перебирать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group