Хочу учиться!!!

[Gelhenec]

Посоветуйте сайты с качественным материалом. Сложные задачи, статьи, олимпиады.

[Odysseus]

Как говорил Козьма Прутков: Если хочешь быть счастливым, будь им. Если хочешь быть красивым, поступи в гусары. Если хочешь учиться, сначала определись чему и для чего.

Вряд ли можно что-то разумное ответить по начальным данным, которые вы дали (точнее даже по их отсутствию). Разве что общие слова о том, что учатся не по "сайтам", а по учебникам, и что "сложные задачи, статьи, олимпиады" могут быть вспомогательными инструментами (тем более уж олимпиады), но вряд ли тем, с чего нужно начинать или на что нужно тратить основное время (если только вы не все уже знаете и хотите просто развлекаться в свободное время, но тогда это не "учиться"). Поэтому расскажите сначала что вы уже знаете, где сейчас учитесь, какие учебники изучали, что вам интересно, к чему стремитесь - иначе, боюсь, тема быстро уйдет в "Карантин".

[george66]

http://www.mccme.ru/

[Karan]

Учиться надо не по сайтам, а по книгам. На форуме есть много тем, посвященных поиску литературы, посмотрите их. Сформулируйте, что конкретно Вам нужно.

[fractalon]

Если хотите заняться чистой математикой, то я бы посоветовал вам для начала пошарить по википедии вдоль всяких-всяких математических теорем, и выяснить, что вас больше поражает и в чём вы хотели бы разобраться. Потом можно искать уже по темам в гугле.
mathnet.ru - хороший сайт с оригиналами математических работ (но при этом там же есть, например, журналы типа "Успехи математических наук", где обзоры разных крупных задач даются на более-менее позновательном для обывателя уровне).
twirpx.com - это для книг, много чего есть. Но, опять же, нужно знать, что вы хотите скачивать, и только потом туда лезь, а не всё подряд шерудить.

Вот вам несколько утверждений сходу:

• для любой степени $n$ существует такое количество слагаемых $k$, что любое число представимо в виде суммы $k$ слагаемых, каждое из которых - $n$-ая степень какого-то числа. Например, любое число представимо как сумма четырёх квадратов или девяти кубов, и так далее.
• любая непрерывная функция от трёх аргументов представима в виде $f(x) = \sum \limits_{i=1}^{9} {h_i (g_i (x,y), z)}$, то есть исключительно через конечное число простых суперпозиций функций двух переменных.
• если поверхность сферы в $d$-мерном пространстве разбить на $d$ частей, то хотя бы в одной из этих частей будут две точки, симметричные относительно центра Например, если обычную трёхмерную сферу разбить на три части, то всегда в какой-нибудь из этих частей найдутся две точки, лежащие симметрично относительно центра шара, который сфера окутывает
• для любого вычислимого (описываемого некоторым алгоритмом вычисления) множества целых чисел $A$ существует полином $P(x_1, \dots, x_n)$ такой. что множество его положительных значений при всех возможных целых $x_1, \dots, x_n$ является ровно множеством $A$. Например, такой полином существует для множества простых чисел. И, кстати, есть множества, алгоритмически невычисллимые. Это связано с тем. что есть программы, которые нельзя написать - например, программу, которая проверяла бы, не зацикливаются другие программы
• Как бы мы ни выбрали 50 людей, среди них всегда найдётся или 5, попарно знакомых друг с другом, или 5 попарно незнакомых. И, обобщённо, для любого $k$ можно выбрать такое $N(k)$, что, каких бы $N(k)$ людей мы ни взяли, всегда будут или $k$ попарно знакомых, или $k$ попарно незнакомых.
• Если для некоторого множества чисел $A$ доля его элементов среди чисел $1, \dots, N$ при бесконечном росте $N$ стремится к какому-то $\delta > 0$ (например, одна десятая часть чисел, или одна сотая), то в этом множестве есть арифметическая прогрессия длины три. И длины четыре. И вообще любой конечной длины. Кстати, в множестве простых чисел они тоже есть, хотя там $\delta=0$.

И это, конечно, далеко не всё.
Выберите для начала, что из этого вам больше по душе для изучения.

[ET]

fractalon в сообщении #1218889 писал(а):

Вот вам несколько утверждений сходу:
[list]
[*] для любой степени $n$ существует такое количество слагаемых $k$, что любое число представимо в виде суммы $k$ слагаемых, каждое из которых - $n$-ая степень какого-то числа. Например, любое число представимо как сумма четырёх квадратов или девяти кубов, и так далее.

собственно говоря, что вы понимаете, под словом "число"? Натуральное число? Целое? Во всех ли случаях вашего употребления этого слова одно и то же?

fractalon в сообщении #1218889 писал(а):

[*] если поверхность сферы в $d$-мерном пространстве разбить на $d$ частей, то хотя бы в одной из этих частей будут две точки, симметричные относительно центра Например, если обычную трёхмерную сферу разбить на три части, то всегда в какой-нибудь из этих частей найдутся две точки, лежащие симметрично относительно центра шара, который сфера окутывает

подскажите, я что-то такую теорему не вижу (вижу, что она несправедлива) ни для $d=3$ ни для $d=2$ Более того, подозреваю, что сферу любой размерности можно разбить на 2 части, так что ни в одной из них не будет точек, симметричных относительно центра

ЗЫ Да так и есть, если $(x_1,x_2,...,x_d)$ - точка сферы с центром в нуле, то определим ее в часть 1, если первое ненулевое из чисел $x_1,x_2,...,x_d$ - положителное и иначе в часть 2. Симметричных точек нет.

[fractalon]

ET в сообщении #1218896 писал(а):

собственно говоря, что вы понимаете, под словом "число"?

Это проблема Варинга. Это всё о натуральных числах.

ET в сообщении #1218896 писал(а):

Да так и есть, если $(x_1,x_2,...,x_d)$ - точка сферы с центром в нуле, то определим ее в часть 1, если первое ненулевое из чисел $x_1,x_2,...,x_d$ - положителное и иначе в часть 2. Симметричных точек нет.

Действительно, я забыл упомянуть, что множества, на которые разбивается сфера должны быть замкнутыми множествами. Это теорема Люстерника и Шнирельмана 1930 года. Я о ней узнал от Райгородского (там теорема 2 на 4-ой странице)

[vpb]

На вышеупомянутом сайте МЦНМО (mccme.ru) есть журнал "Квант" в свободном доступе за все года. Очень рекомендую.
И другие популярные книги с того же сайта.

[ET]

fractalon в сообщении #1219018 писал(а):

ET в сообщении #1218896 писал(а):

собственно говоря, что вы понимаете, под словом "число"?

Это проблема Варинга. Это всё о натуральных числах.

Ок, натуральные числа без нуля? Кажется, при прочтении замечал доказательство, что ри такой трактовке ваша "теорема" несправедлива:-)

fractalon в сообщении #1219018 писал(а):

ET в сообщении #1218896 писал(а):

Да так и есть, если $(x_1,x_2,...,x_d)$ - точка сферы с центром в нуле, то определим ее в часть 1, если первое ненулевое из чисел $x_1,x_2,...,x_d$ - положителное и иначе в часть 2. Симметричных точек нет.

Действительно, я забыл упомянуть, что множества, на которые разбивается сфера должны быть замкнутыми множествами. Это теорема Люстерника и Шнирельмана 1930 года. Я о ней узнал от Райгородского (там теорема 2 на 4-ой странице)

Вот,... а как можно сферу разбить на 3 непустых замкнутых множества?

[fractalon]

Ну да, ну да, забыл разрешить им пересекаться по границам. Имел в виду "пересечение" чисто в житейском смысле (поскольку автор темы может быть и не знаком даже с понятием "замкнутого множества"), не когда у них нет общих точек, а когда множество точек, принадлежащих более чем одному множеству, имеет нулевой объём.
Вообще в исходной формулировке там просто $S^d = A_1 \cup \dots \cup A_{d+1}$, но любое построение контрпримера к такой формулировке только улучшалось бы убиранием областей пересечений ненулевого объёма, а значит суть вся именно в разбиения с нулевым (по объёму) пересечением.

-- 27.05.2017, 09:21 --

(Оффтоп)

Кстати, интересный вопрос - для произвольного фиксированного $c$ существует ли $n(k,c),\ x_0 (k,c)$ такие, что $\forall x \in {\mathbb N} (x>x_0) \exists (a_i)_{i=1}^{n} \in {\mathbb N}^n:\ a_i > c,\ \sum \limits_{i=1}^{k} {a_i^n} = x$
По идее, оценки на суммы Вейля (если получать их через "схлопывание" многочлена до одночлена) не должны сильно изменяться от того, с какого числа стартовать (если старт - константа). А дальше надо много и нудно проверять.
Кажется, хорошая тема для чьей-нибудь курсовой/диплома.