2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свёртка
Сообщение24.05.2017, 21:16 


11/11/12
172
Цитата:
Свёртка линейного оператора --- это след. Действительно, в силу линейности достаточно проверить это утверждение для разложимых операторов, т. е. операторов вида $x\otimes  \alpha\, (x\in V,\, \alpha\in V^*)$. Оператор такого вида равен нулю на $n-1$--мерном подпространстве $ \operatorname{Ker} \alpha$ и действует как умножение на $\alpha(x)$ на факторпространстве $V/ \operatorname{Ker}\alpha$. Следовательно, его след равен $\alpha(x)$, что совпадает со свёрткой.


Непонятно, откуда здесь возникло $n-1$--мерное подпространство ядра, почему именно $n-1$--одномерное, и почему след равен $\alpha(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свёртка
Сообщение24.05.2017, 22:05 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Размерность образа равна единице, поскольку это ранг оператора, а наш оператор разложимый, поэтому факторпространство имеет единичную размерность, откуда и делается вывод о следе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свёртка
Сообщение24.05.2017, 23:26 


11/11/12
172
Мне всё ещё неясно. След --- сумма элементов главной диагонали матрицы оператора в некотором базисе. Как это связать с $\alpha(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свёртка
Сообщение25.05.2017, 00:38 


15/04/12
162
Ну очевидно что для тензора (оператора) $x \otimes \alpha$ свертка определена как $x^i \alpha_i$ в нотации Эйнштейна. Предлагается доказать что это выражение равно следу этого оператора, который действует по правилу $(x \otimes \alpha) v = \alpha(v) x$. Я бы просто сказал что в этом случае $(x \otimes \alpha) e_i = \alpha_i x$ из чего все следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свёртка
Сообщение25.05.2017, 10:46 


11/11/12
172
CptPwnage в сообщении #1218677 писал(а):
Ну очевидно что для тензора (оператора) $x \otimes \alpha$ свертка определена как $x^i \alpha_i$ в нотации Эйнштейна.

Линейное отображение $T^p_q(V)\to T^{p-1}_{q-1}(V)$, при котором $x_1\otimes \dots \otimes x_p \otimes \alpha_1 \otimes\dots \otimes \alpha_q \mapsto \alpha_1(x_1)(x_2\otimes \dots \otimes x_p \otimes \alpha_2 \otimes\dots \otimes \alpha_q )$, называется свёрткой (по первым множителям). Мне интересно, как, исходя именно из этого определения, получается вывод о следе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свёртка
Сообщение25.05.2017, 11:21 


15/04/12
162
function в сообщении #1218702 писал(а):
CptPwnage в сообщении #1218677 писал(а):
Ну очевидно что для тензора (оператора) $x \otimes \alpha$ свертка определена как $x^i \alpha_i$ в нотации Эйнштейна.

Линейное отображение $T^p_q(V)\to T^{p-1}_{q-1}(V)$, при котором $x_1\otimes \dots \otimes x_p \otimes \alpha_1 \otimes\dots \otimes \alpha_q \mapsto \alpha_1(x_1)(x_2\otimes \dots \otimes x_p \otimes \alpha_2 \otimes\dots \otimes \alpha_q )$, называется свёрткой (по первым множителям). Мне интересно, как, исходя именно из этого определения, получается вывод о следе.

Ну это то что я написал, но в координатах

 Профиль  
                  
 
 Re: Свёртка
Сообщение25.05.2017, 11:24 


11/11/12
172
CptPwnage, можно ли это без координат сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свёртка
Сообщение25.05.2017, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Без координат след определяется как сумма собственных значений, и тогда для $\alpha\otimes x$ их будет $n - 1$ нулевых, и одно $\alpha(x)$, соответствующее собственному вектору $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свёртка
Сообщение25.05.2017, 19:32 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Во-первых, тут есть двусмысленность языка. Словосочетание "$n-1$-мерное подпространство ${\rm Ker\,}\alpha$" можно понимать или как (1) то, что рассматривается пространство ${\rm Ker\,}\alpha$, а в нем еще некоторое подпространство размерности $n-1$, или как (2) ${\rm Ker\,}\alpha$ --- это $n-1$-мерное пространство, являющееся подпространством в некотором бОльшем пространстве. Винберг имеет в виду вариант (2), а Вы, кажется, поняли как (1). Основное пространство $V$ имеет размерность $n$, а ${\rm Ker\,}\alpha$, являющееся ядром некоторой линейной функции, естественно, имеет размерность $n-1$.

Собственно про след. Разложимому тензору $x\otimes\alpha$ отвечает, по определению соответствия между пространствами $V\otimes V^\ast$ и $L(V)$, линейный оператор $\varphi:V\longrightarrow V$, действующий как $\varphi(v)=\alpha(v)x$. В пространстве $V$ можно выбрать базис $e_1,\ldots,e_n$ так, что $e_1,\ldots,e_{n-1}$ --- базис для ${\rm Ker\,}\alpha$, а $e_n$ удовлетворяет условию $\alpha(e_n)=1$. Пусть $x_1,\ldots,x_n$ --- коэффициенты в разложении вектора $x$ по этому базису. Тогда ясно, что ${\rm Tr}(\varphi)=x_n$ (поймите сами почему). С другой стороны, свертка равна $\alpha(x)=x_n$, то же самое. Что и требовалось доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свёртка
Сообщение26.05.2017, 11:02 


11/11/12
172
vpb,
спасибо! Разобрался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group