2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма в цикле остатков для разных СС
Сообщение25.05.2017, 23:21 
Аватара пользователя


22/11/13
496
При возведении чисел от $1$ до $9$ в десятичной системе счисления в степень имеем цикл остатков (от деления на $10$, т.е. последних цифр числа) длиною в $4$ степени. Для СС, у которых основание - простое число, имеем циклы длиною $p-1$. Все остатки в степенях $np-1$ равны единице, отсюда МТФ.

Существует ли какое-то правило распределения остатков? Заметил только, что они повторяются в обратном направлении (без учета последней степени в цикле), например для $11$:

$2 - 2,4,8,5,10,9,7,3,6$
$6 - 6,3,7,9,10,5,8,4,2$
$7 - 7,5,2,3,10,4,6,9,8$
$8 - 8,9,6,4,10,3,2,5,7$

И т.д. Если их суммировать (опять-таки без последней степени), получаем числа, делящиеся без остатка на основание СС. Например:

1) Осн. - $7$; $14,21,14,21,21; (2,3,2,3,3)$
2) Осн. - $11$; $55,44,44,44,55,55,55,44,55; (5,4,4,4,5,5,5,4,5)$
3) Осн. - $13$; $78,52,78,78,78,78,78,52,78,78,78; (6,4,6,6,6,6,6,4,6,6,6)$
4) Осн. - $17$; $136(15); 8(15)$

Почему везде (кроме $17$) разные суммы? Проверял до $19$, там они тоже различны. По какому правилу они распределяются? В каких случаях аналогично $17$ суммы одинаковые?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма в цикле остатков для разных СС
Сообщение26.05.2017, 00:43 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
То, что Вы заметили, довольно просто и очевидно, и было замечено, доказано и обобщено классиками еще несколько столетий назад. Взяли бы Вы да почитали какой учебник по элементарной теории чисел. Бухштаба Вам уже советовали, позволю себе еще присоветовать Виноградова "Основы теории чисел". Еще есть много более популярной литературы, допустим на сайте МЦНМО. Еще есть журналы "Квант". И всё само собой разъяснится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group