2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Построение бифуркационной диаграммы
Сообщение21.05.2017, 17:03 


21/05/17
3
Задали построить бифуркационную диаграмму для системы с двумя параметрами:
$
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    \dot{x} = (x + a)(x - y);\\
    \dot{y} = (y - b)(y + x);
  \end{cases}
\end{equation*}
$
Я начал аналитически искать состояния равновесия -- получил 4 точки: $(0;0), (-a;a), (-a;b), (b;b)$

Далее я начал находить для каждой точки лямбды, чтобы определить, при каких значениях параметров a, b какие состояния равновесия получаются. Проблема заключается в точке $(-a; b)$. Лямбда в этой точке получается чисто комплексной

$
\begin{equation*}
  \lambda^2-2a\lambda+a^2-b^2=0\\
  D=4a^2-4a^2-4b^2 = -4b^2 < 0\\
  \lambda_1_,_2 = \frac{-2a \pm \sqrt{-4b^2}}{2} = -a \pm ib
\end{equation*}
$

, а это значит, что в этой точке состояния равновесия могут быть только "Центр", "Неустойчивый фокус" и "Устойчивый фокус":

НФ
$
a < 0$
УФ
$
a > 0$
Ц
$
a = 0$

Вот только при построении фазового портрета получается постоянно Седло. Я где-то неправильно рассуждал? (остальные точки получаются правильно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение бифуркационной диаграммы
Сообщение21.05.2017, 17:12 


16/01/14
73
Седло и получается, Вы неправильно записали характеристический полином

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение бифуркационной диаграммы
Сообщение21.05.2017, 17:27 


21/05/17
3
Grabovskiy в сообщении #1217835 писал(а):
Седло и получается, Вы неправильно записали характеристический полином

:facepalm: вот я тормоз :facepalm:

Спасибо большое

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение бифуркационной диаграммы
Сообщение21.05.2017, 19:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
chudizm в сообщении #1217834 писал(а):
Лямбда в этой точке получается чисто комплексной

\begin{equation*}
 \lambda^2-2a\lambda+a^2-b^2=0\\
 D=4a^2-4a^2-4b^2 = -4b^2 < 0\\
 \lambda_1_,_2 = \frac{-2a \pm \sqrt{-4b^2}}{2} = -a \pm ib
\end{equation*}
Нет термина "чисто комплексный", есть термин "чисто мнимый". Корни $a\pm bi$ являются чисто мнимыми, только если $a=0$.

P.S. 1) Формула, заключённая в знаки доллара $...$, должна помещаться в одной строке, иначе парсер форума её не распознаёт.
2) Окружение equation* не нужно окружать знаками доллара, но нужно заключить в тег [mаth]...[/mаth] (знаки доллара, которые могут появиться автоматически, лучше удалить). Это относится и ко многим другим окружениям, используемым для записи формул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение бифуркационной диаграммы
Сообщение21.05.2017, 20:11 


21/05/17
3
Someone в сообщении #1217848 писал(а):
chudizm в сообщении #1217834 писал(а):
Лямбда в этой точке получается чисто комплексной

\begin{equation*}
 \lambda^2-2a\lambda+a^2-b^2=0\\
 D=4a^2-4a^2-4b^2 = -4b^2 < 0\\
 \lambda_1_,_2 = \frac{-2a \pm \sqrt{-4b^2}}{2} = -a \pm ib
\end{equation*}
Нет термина "чисто комплексный", есть термин "чисто мнимый". Корни $a\pm bi$ являются чисто мнимыми, только если $a=0$.

P.S. 1) Формула, заключённая в знаки доллара $...$, должна помещаться в одной строке, иначе парсер форума её не распознаёт.
2) Окружение equation* не нужно окружать знаками доллара, но нужно заключить в тег [mаth]...[/mаth] (знаки доллара, которые могут появиться автоматически, лучше удалить). Это относится и ко многим другим окружениям, используемым для записи формул.

спасибо за замечания, на латехе ничего до сегодняшнего дня не писал

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение бифуркационной диаграммы
Сообщение22.05.2017, 00:00 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
chudizm
1.При вычислении дискриминанта - арифметическая ошибка.
2. Ох как я ругаю студентов, когда они ищут собственные значения ДИАГОНАЛЬНОЙ матрицы, считая хар. многочлен, и решая затем квадратное уравнение $(-a-b - \lambda)(-a+b- \lambda) = 0$, ОТКРЫВАЯ скобки (с ошибкой - знак перед $2a \lambda$ - не тот), и еще ошибаясь в дискриминанте...
3. А еще, кроме седла, может быть и узел в этой точке
4. Да и в точке $(0,0)$ много случаев. ..
5. А еще при $a=b$ и $a+b=0$ - седлоузлы!
6. А про $a=b=0$ я вааще молчу!!
Ну и неслабая у Вас задачка! Это что, курсовая?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group