Группа гомеоморфизмов [0,1]

[Dmitry Tkachenko]

Правильно ли я понимаю, что группа $\operatorname{Homeo}(X)$ гомеоморфизмов топологического пространства $X$ состоит из множества только тех гомеоморфизмов $X\to X,$ которые образуют группу по композиции?

Свои продвижения по вопросу $\operatorname{Homeo}([0,1])$ предлагаю ниже.

Группу можно разделить на $H^+$ и $H^-,$ т.е. сохраняющие ориентацию и нет. Сохраняющие отображают 0 в 0 и 1 в 1, а другие 0 в 1 (1 в 0 соответственно). Отображение $1-x=g(x)\in H^-$ меняет ориентацию, является инволюцией ($g(g(x))=x$) и биекцией между $H^+$ и $H^-.$ А имеено, $f^+\in H^+$ соответствует $f^-=g f^+\in H^-,$ а $f^-\in H^-$ соответствует $g f^-=g g f^+=f^+\in H^+.$ Дальше я бы хотел рассматривать только $H^+$ и показать, что кроме $\operatorname{id}$ ничего нет.

Добавлено позже: интересно посмотреть на конечные подгруппы.

[Grabovskiy]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1217745 писал(а):

Дальше я бы хотел рассматривать только $H^+$ и показать, что кроме $\operatorname{id}$ ничего нет.

Как насчет $x \mapsto x^2$ ?

[kp9r4d]

Мне ещё изначальный вопрос не понятен. Из множества всех гомеоморфизмов состоит, а все гомеоморфизмы конечно же образуют группу относительно композиции.

[Dmitry Tkachenko]

Grabovskiy в сообщении #1217746 писал(а):

Как насчет $x \mapsto x^2$ ?

Ой, я забыл сказать, что я хочу посмотреть на конечные подгруппы и понять какой у них может быть порядок.

[kp9r4d]

Как насчёт $f \circ g \circ f^{-1}$ где $g(x)=1-x$ это инволюция, а $f$ - любая монотонная непрерывная?

[Dmitry Tkachenko]

kp9r4d в сообщении #1217754 писал(а):

Как насчёт $f \circ g \circ f^{-1}$ где $g(x)=1-x$ это инволюция, а $f$ - любая монотонная непрерывная?

И что? Мне же нужна конечная подгруппа.

[kp9r4d]

$\{\operatorname{id}, f \circ g \circ f^{-1}\}$ это конечная подгруппа.

-- 21.05.2017, 09:30 --

А других особо нету, потому что если $f$ монотонно возрастает, то в конкретной точке $x$ имеем либо $x \leq f(x)$ либо $f(x) \leq x$. в первом случае получаем $x \leq f(x) \leq f^{(2)}(x) \leq ... \leq f^{(n)}(x) = x$, во втором получаем то же самое. А если $f$ монотонно убывает, то $f^{(2)}$ монотонно возрастает.

[Dmitry Tkachenko]

Я понял, почему там только id. Осталось найти все группы порядка 2.

-- 21.05.2017, 09:43 --

Пусть $c\in (0,1),$ $f\colon [0,c]\to [c,1], f(0)=0, f(c)=c,$ дальше $h(x)=f(x), x\in [0,c]$ и $h(x)=f^{-1} (x), x\in [c,1].$ Это описывает всё или нет?

[kp9r4d]

Если $f$ это инволюция, то она убывающая. Рассмотрим её неподвижную точку $x_{fix}$ теперь определим $v$ следующим образом - пусть на $[0.5..1]$ это гомеоморфизм на отрезок $[x_{fix}..1]$ а на $[0..0.5]$ оно отображает $x$ в $f(v(1-x))$. Тогда $f = v \circ g \circ v^{-1}$ где $g = 1 - x$.

-- 21.05.2017, 09:48 --

Ну видимо да, у вас то же самое.

[DeBill]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1217762 писал(а):

Пусть $c\in (0,1),$ $f\colon [0,c]\to [c,1], f(0)=0, f(c)=c,$ дальше $h(x)=f(x), x\in [0,c]$ и $h(x)=f^{-1} (x), x\in [c,1].$ Это описывает всё

Видимо, имелось в виду $f(0) = 1 +$ биективность $f$