2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Взять несобственный интеграл
Сообщение19.05.2017, 22:03 


19/05/14
87
Есть интеграл вида $$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\sin ^2 (x) \cos  (a x)}{x^2} dx$$
Никак не могу его вычислить.
Пробовал понижать степень синуса, а потом разложил на 2 интеграла, но один из интегралов расходится(...
С дифференцированием по параметру тоже ничего хорошего не вышло.
Есть ли какие-нибудь еще подходы для решения данного интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение19.05.2017, 22:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
В любом случае предварительно стоит проинтегрировать по частям, чтобы понизить степень знаменателя (а то квадрат -- как-то не очень комильфо). А дальше -- если нет ТФКП, то можно просто понизить все степени в числителе, сведя весь интеграл к комбинации интегральных синусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение19.05.2017, 22:30 


19/05/14
87
ewert в сообщении #1217409 писал(а):
В любом случае предварительно стоит проинтегрировать по частям, чтобы понизить степень знаменателя (а то квадрат -- как-то не очень комильфо). А дальше -- если нет ТФКП, то можно просто понизить все степени в числителе, сведя весь интеграл к комбинации интегральных синусов.


Я вот упростил подынтегрльную функцию до вида
$$\frac{(2 \cos(а x) - \cos(2 x - а x) - \cos(а x + 2 x))}{(4 x^2)}$$

Но я никогда не сталкивался с интегральным синусом...

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение19.05.2017, 22:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Grand.Master в сообщении #1217413 писал(а):
Но я никогда не сталкивался с интегральным синусом...

Ну тут ничего не поделать -- придётся столкнуться. Ибо эта задачка явно на него и рассчитана. Имеется в виду не интегральный синус как таковой, а его предельное значение $\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,dx=\frac{\pi}2$. Вот он-то точно считается дифференцированиями по параметру. Но как конкретно -- не помню: уж это-то такое убожество по сравнению с его подсчётом по ТФКП...

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение19.05.2017, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Grand.Master в сообщении #1217413 писал(а):
Но я никогда не сталкивался с интегральным синусом...

под интегральным синусом ewert
понимает интеграл Дирихле
$$
\int_0^{+\infty}\frac{\sin px}{x}\,dx\,\,,
$$
который вы должны знать

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение19.05.2017, 22:49 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Grand.Master
После Вашего преобразования, и интегрирования по частям по ewert, сводится к интегралу Дирихле $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\sin x dx}{x}$ , который, впрочем, также удобнее считать по ТФКП
(Демидович считает его после домножения на хитрую экспоненту, но это такой геморрой...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение19.05.2017, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Grand.Master в сообщении #1217407 писал(а):
$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\sin ^2 (x) \cos  (a x)}{x^2} dx$$
Grand.Master в сообщении #1217413 писал(а):
$$\frac{(2 \cos(а x) - \cos(2 x - а x) - \cos(а x + 2 x))}{(4 x^2)}$$
Как-то очень странно Вы упростили. А куда буква "$a$" подевалась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение19.05.2017, 23:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
DeBill в сообщении #1217425 писал(а):
Grand.Master
После Вашего преобразования, и интегрирования по частям

Маленький нюанс: тут лучше мух и котлет по отдельности. Обоснованность интегрирования по частям лучше доказывать для исходного выражения, где она практически очевидна. А вот собственно интегрирование по частям (после того, как оно уже обосновано) проводить для интеграла с преобразованным числителем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение19.05.2017, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
DeBill в сообщении #1217425 писал(а):
Демидович считает его после домножения на хитрую экспоненту, но это такой геморрой...

я когда учился по Фруллани его посчитал:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение20.05.2017, 12:31 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Someone в сообщении #1217432 писал(а):
А куда буква "$a$" подевалась?

Ой, а $a$ то я и не заметил...Но все равно, метода работает. Только надо будет различать случаи $a>2$, и $a<2$.
Забавно, у меня вышло, что в первом, интеграл равен 0....
Вообще, наш интеграл - это преобразование Фурье от $(\frac{\sin x}{x})^2$. У него что, компактный носитель??!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение20.05.2017, 12:41 


25/08/11

1074
Вроде Пэли и Винер говорят, что да. Функция целая, нужного порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять несобственный интеграл
Сообщение20.05.2017, 18:50 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
alcoholist в сообщении #1217442 писал(а):
я когда учился по Фруллани его посчитал:)

Вау! А я так не умею...И: там же где-то логарифм вылезет, нет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group