2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение20.05.2017, 12:51 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Markiyan Hirnyk
Я посмотрел еще на свои формулы: константа $B$ на самом деле ВСЕГДА равна 0. Но тогда начинают работать следующие члены. Более того, происходит их взаимное сокращение - всех (кроме первого) - с логарифмическим множителем. В результате получаем ТОЧНОЕ выражение для интеграла ТС:
$a^{-p} \frac{2^{-p} \sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{p}{2}\right) \log (a)}{\Gamma \left(\frac{p+1}{2}\right)}- \sum\limits_{k=0}^{\infty} c_k\cdot \frac{a^{2k}}{(p+2k)^2}$, где
$c_k$ - "биноминальные к-ты": $c_k =C^k_{-p} =\frac{(-p)(-p-1)...(-p-k+1)}{k!}$
Это согласуется с асимп. формулой

Markiyan Hirnyk в сообщении #1217388 писал(а):
Привожу упрощенную асимптотику в стандартной математической записи
$a^{-p} \left(\frac{2^{-p} \sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{p}{2}\right) \log (a)}{\Gamma \left(\frac{p+1}{2}\right)}+O\left(a^3\right)\right)+\left(-\frac{1}{p^2}+\frac{p a^2}{(p+2)^2}+O\left(a^3\right)\right) $

(в ней выписаны два члена суммы).
Так что Математика не врет, да.

-- 20.05.2017, 15:33 --

Сумма что-то не сворачивается. Ну, кроме четных $p$:
если $g(a)$ - сумма ряда, умноженного на $a^p$, то $a(ag'(a))'= (\frac{a}{(1+a^2)})^p$, с нулевыми начальными условиями. Решая дифур (для $p=2$, например), получим $g(a)=\frac{1}{4} \ln (1+a^2)$ . Вместе с главным членом асимптотики (равным $\frac{1}{2a^2}\ln a$) это дает первый из ответов Vince Diesel.

-- 20.05.2017, 15:39 --

Попробовал для $p=12$: все, вроде, получится, токо больно громоздкий и неприглядный ответ будет....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group