2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение18.05.2017, 20:47 
Заслуженный участник


10/01/16
1347
Markiyan Hirnyk
Если в интегралах в
DeBill в сообщении #1216938 писал(а):
$I(a) =  a^{-p}\cdot (A\ln a +B + o(1))$ при $a\to +0$, где
$A=\int\limits_{0}^{\infty}  (\frac{t}{1+t^2})^p \cdot\frac{dt}{t}$
$B=\int\limits_{0}^{\infty}\ln t \cdot(\frac{t}{1+t^2})^p\cdot \frac{dt}{t} $
верхний предел заменить на $\frac{1}{a}$, то получится точная формула для $I(a)$. Поэтому ошибка асимптотической формулы происходит из "хвостов" интегралов $A$ и $B$. Хвост $\int\limits_{\frac{1}{a}}^{\infty}(\frac{t}{1+t^2})^p \cdot \frac{dt}{t}$ равен $\frac{a^p}{p} + O(a^{p+2})$. Это - малая весчь, даже после домножения на логарифм, при малых $a$. Так что следующим членом асимптотики (во второй скобке) будет константа $B$ (ибо она - ненулевая при $p\ne 1$).

-- 18.05.2017, 22:50 --



-- 18.05.2017, 22:55 --

Можно подумать, что программа явно сосчитала этот член - и записала его в первую скобку. Но: нет логарифма, и "пэ" - с квадратом....

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение18.05.2017, 21:12 


11/07/16
214
Пожалуйста, изложите происхождение $I(a)$ и обоснуйте
Цитата:
Поэтому ошибка асимптотической формулы происходит из "хвостов" интегралов $A$и $B$. Хвост $$\int\limits_{\frac{1}{a}}^{\infty}(\frac{t}{1+t^2})^p \cdot \frac{dt}{t}$$ равен $\frac{a^p}{p} + O(a^{p+2})$. Это - малая весчь, даже после домножения на логарифм, при малых $a$. Так что следующим членом асимптотики (во второй скобке) будет константа $B$ (ибо она - ненулевая при $p\ne 1$)
подробно и аккуратно, аккуратно и подробно, без словоблудия. Я предпочитаю доказательства необоснованным заявлениям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение18.05.2017, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
Markiyan Hirnyk
Вряд ли ТС пришел на форум затем, чтобы скормить свой интеграл матпакету. Это было бы проще сделать напрямую. Скорее он рассчитывал получить некоторые идеи и подсказки. Поэтому столь настойчивые апелляции к матпакетам и их непогрешимости кажутся мне неуместными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение18.05.2017, 22:42 


09/06/12
134
ex-math, этот интеграл вызывает сомнения, и я не уверен, что его вообще можно выразить через нужные функции. Тут любая информация может быть полезна, в том числе, косвенно подтверждающий этот факт результат, выданный матпакетом, которого у меня нет под рукой. Сообщения участников mihiv и Markiyan Hirnyk кажутся мне вполне уместными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение18.05.2017, 23:11 


11/07/16
214
Свободно доступная WolframAlpha считает указанный интеграл для $a=1, p=1/2.$ Можно сравнить ответ с численным значением $-\frac{a^{-2 p} \, _3F_2\left(\frac{p}{2},\frac{p}{2},p;\frac{p}{2}+1,\frac{p}{2}+1;-\frac{1}{a^2}\right)}{p^2}$ для этих величин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение18.05.2017, 23:16 


09/06/12
134
Markiyan Hirnyk, конечно, тем более, что случай а=1 сразу вызывал сомнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение18.05.2017, 23:32 


11/07/16
214
При сверке в Мэйпле
Код:
int((x/(x^2+1))^(1/2)*ln(x)/x, x = 0 .. 1, numeric);
                          -3.933536271
evalf(-4*hypergeom([1/4, 1/4, 1/2], [5/4, 5/4], -1));
                          -3.933536271

результаты совпали. Полагаю, что это весомый аргумент в пользу правильности результата Математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение19.05.2017, 01:09 
Заслуженный участник


10/01/16
1347
Markiyan Hirnyk в сообщении #1217200 писал(а):
изложите происхождение $I(a)$ и

$I(a)$, как нетрудно догадаться, и есть интеграл ТС.
Все остальное есть в тексте.

(Оффтоп)

:D А под словоблудием, как я понимаю, Вы имеете в виду фразы вроде
Markiyan Hirnyk в сообщении #1217200 писал(а):
подробно и аккуратно, аккуратно и подробно, без словоблудия. Я предпочитаю доказательства необоснованным заявлениям.


-- 19.05.2017, 03:25 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1217222 писал(а):
это весомый аргумент в пользу правильности результата Математики.

О правильности результата - для выражения через гипергеометрию - речь и не шла.
Разговор был о правильности выданной матпакетом асимптотической формулы.
Так что для проверки ее надо посчитать точное выражение для всего интеграла - да хоть бы и через гипергеметрическую, вычесть из этого главный член асимптотики - тот, что с логарифмом, и сравнить с оставшимся членом из Вашей формулы, и, соответственно, с моей константой. И считать при малых $a$, типа, 0.01, и $p$, не равном 1. Вот это и будет реальная проверка. А так, все прочее - типа ссылки на счет при $a=1$ - это и есть то, что Вы так хорошо назвали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение19.05.2017, 09:07 


11/07/16
214
Не будем опускаться до словесных испражнений, а произведем числовую проверку в Мэйпле:
интеграл -
Код:
evalf(eval(-a^(-2*p)*hypergeom([(1/2)*p, (1/2)*p, p], [1+(1/2)*p, 1+(1/2)*p], -1/a^2)/p^2, [a = 0.1e-3, p = 1/2]));
                          -3419.331771;

его асимптотика согласно предложенной вами формуле -
Код:
evalf(eval(a^(-p)*((int((eval((t/(t^2+1))^p, p = 1/2))/t, t = 0 .. infinity, numeric))*ln(a)+int(ln(t)*(eval((t/(t^2+1))^p, p = 1/2))/t, t = 0 .. infinity, numeric)), [a = 0.1e-3, p = 1/2]));
                          -3415.331771;

асимптотика согласно формуле Математики -
Код:
evalf(eval(-1/p^2+a^(-p)*2^(-p)*sqrt(Pi)*GAMMA((1/2)*p)*ln(a)/GAMMA(1/2-(1/2)*p), [a = 0.1e-3, p = 1/2]));
                          -1158.344979;

асимптотика согласно формуле Математики до ее упрощения -
Код:
evalf(eval(-(1/4)*a^(-p)*GAMMA((1/2)*p)^2*ln(1/a^2)/GAMMA(p)-(1/4)*Pi^2*csc((1/2)*p(Pi))^2/(GAMMA(1-(1/2)*p)^2*GAMMA(1+(1/2)*p)^2), [a = 0.1e-3, p = 1/2]));
                          -3448.006856.

Полагаю, что ошибка сделана Математикой при упрощении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение19.05.2017, 10:12 


11/07/16
214
Мэйпл находит асимптотику интеграла точнее, чем Математика:
Код:
inte := -a^(-2*p)*hypergeom([p, (1/2)*p, (1/2)*p], [1+(1/2)*p, 1+(1/2)*p], -1/a^2)/p^2:
series(eval(inte, p = 1/2), a, 3) assuming a>0;
Pi^(3/2)*ln(a)/(GAMMA(3/4)^2*sqrt(a))-4+O(a^2)
convert(series(eval(inte, p = 1/2), a, 3), polynom);
Pi^(3/2)*ln(a)/(GAMMA(3/4)^2*sqrt(a))-4
evalf(eval(%, a = 0.1e-3));
                          -3419.331774

Заканчиваю на этом: куча дел на сегодня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение19.05.2017, 16:05 


25/08/11

1074
$_{3}F_2$ сводится за счёт сокращения гамма функций к $_{1}F_2$ с параметрами $(a; a/2,a/2)$. Уже проще, множителей меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение19.05.2017, 20:23 


11/07/16
214
Математика правильно находит асимптотику (в моем предыдущем ответе ошибка при копировании, которое можно сделать програмно):
Код:
j = Integrate[Log[x]*(x/(a^2 + x^2))^p/x, {x, 0, 1}, Assumptions -> p > 0 && a > 0];
s = Series[j, {a, 0, 2}, Assumptions -> p > 0];
k = Normal[FullSimplify[s]];
N[k /. {a -> 0.0001, p -> 1/2}]
-3419.33

Привожу упрощенную асимптотику в стандартной математической записи
$a^{-p} \left(\frac{2^{-p} \sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{p}{2}\right) \log (a)}{\Gamma \left(\frac{p+1}{2}\right)}+O\left(a^3\right)\right)+\left(-\frac{1}{p^2}+\frac{p a^2}{(p+2)^2}+O\left(a^3\right)\right) $

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение19.05.2017, 21:23 
Заслуженный участник


25/02/11
1511
При четных $p$, похоже, результат выражается в элементарных функциях. Для $p=2,4,6$ математика дает
$$
-\frac{\log \left(\frac{1}{a^2}+1\right)}{4a^2},\ 
\frac{\frac{a^2}{\left(a^2+1\right)^2}-\log \left(\frac{1}{a^2}+1\right)}{24 a^4},\
\frac{\frac{a^2 \left(2 a^4+7 a^2+2\right)}{\left(a^2+1\right)^4}-2 \log \left(\frac{1}{a^2}+1\right)}{240a^6}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение19.05.2017, 21:47 


11/07/16
214
Зто неверно: при $p=12$ получаем $\frac{2772 \text{Hypergeometric2F1}^{(0,0,1,0)}\left(12,6,7,-\frac{1}{a^2}\right)+2772 \text{Hypergeometric2F1}^{(0,1,0,0)}\left(12,6,7,-\frac{1}{a^2}\right)-\frac{\left(11 \left(42 a^{10}+30 a^8+15 a^6+5 a^4+a^2\right)+1\right) a^{12}}{\left(a^2+1\right)^{11}}}{66528 a^{24}}ю$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл, связанный с интегралами Эйлера
Сообщение19.05.2017, 22:15 


25/08/11

1074
Наверное, Вы правы, но это ещё не значит, что приведённая функция не сводится к элементарной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group