2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение18.05.2017, 00:18 
Заслуженный участник


29/09/14
652
Да. (Хорошо бы, конечно, поправить опечатку: в средних частях равенств для матриц $L_L, \, L_R$ потерялась матрица $\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\sigma};$ но если "правка" не работает, то уж ладно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение18.05.2017, 01:33 


28/08/13
251
Cos(x-pi/2) в сообщении #1217050 писал(а):
хорошо бы поправить опечатку

К сожалению, уже не получается.
Цитата:
3) Пытаемся выяснить, как этот левый ток преобразуется под действием буста:
$\mathbf{j'}_L=-u'^+\boldsymbol{\sigma}u'=-(L_Lu)^+\boldsymbol{\sigma}(L_Lu)=-u^+(L_L\boldsymbol{\sigma}L_L)u \, .$
Расчёт показал, что
$$\mathbf{j'}_L=-u^+\left(\boldsymbol{\sigma}-\frac{p}{m}\mathbf{n}+\frac{E-m}{m}(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}\right)u=-u^+\left(-\frac{p}{m}\mathbf{n}+\frac{E}{m}(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}+\boldsymbol{\sigma}-(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}\right)u,$$ т.е., с учётом предыдущего пункта,$$\mathbf{j'}_L=\frac{\rho\mathbf{V}+\mathbf{j}_{L||}}{\sqrt{1-V^2}}+\mathbf{j}_{L\perp}}.$$
Цитата:
Кстати, после этого подумайте, как убедиться в том, что рассматриваемый здесь в общем виде 4-ток $(\rho, \, \mathbf{j})$ соответствует движению именно со скоростью света.

4-ток должен иметь нулевой модуль - завтра попробую это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение19.05.2017, 18:49 


28/08/13
251
Итак, если компоненты левого спинора обозначить $u_1$ и $u_2,$ то
$$j_x=-u^+\sigma_xu=-u_1u_2^*-u_1^*u_2,$$ $$j_y=-u^+\sigma_yu=-i(u_2^*u_1-u_1^*u_2),$$
$$j_z=-u^+\sigma_zu=-|u_1|^2+|u_2|^2,$$ отсюда легко получается
$$|j^{(4)}|^2=\rho^2-j_x^2-j_y^2-j_x^z=0.$$
У меня по ходу расчёта возник такой вопрос - обязательно ли было вычислять и квадрировать компоненты, вдруг можно было проще - сразу доказать, что $|\mathbf{j}|^2=|-u^+\boldsymbol{\sigma}u|=|u^+u|^2 \ ?$
У меня не получилось в общем виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение19.05.2017, 21:12 
Заслуженный участник


29/09/14
652
Да, верно. Можно и в общем виде, если Вы уже убедились раньше, что вектор, определяемый равенством $2\mathbf{s}=(u^+\boldsymbol{\sigma}u)/(u^+u)$ есть единичный вектор (другими словами, если Вы уже убедились раньше, что величина вектора спина $\mathbf{s}$ в случае двухкомпонентного спинора всегда равна $1/2).$

Небольшое замечание: лучше квадрат 4-вектора обозначать именно как квадрат или как свёртку по двум 4-векторным индексам, а не как квадрат модуля. Например, если $A^{\mu}$ - компоненты 4-вектора $(A^0, \, A^x,A^y,A^z)=(A^0, \, \mathbf{A}),$ то:

$A^2=A_{\mu}A^{\mu}=A^{\mu}A_{\mu}=(A^0)^2-\mathbf{A \cdot A} \, .$

Модуль - величина неотрицательная, а квадрат 4-вектора в случае пространственно-подобного 4-вектора окажется отрицательным.

(Иду допечатывать продолжение рассказа про спиноры.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение20.05.2017, 02:07 
Заслуженный участник


29/09/14
652
Итак, пытаемся продвинуться дальше.

Понимая под компонентами произвольного спинора пару произвольных комплексных чисел $u_1, \,u_2,$ преобразующихся при бусте матрицей $L_L$ (такой спинор мы называем левым) или $L_R$ (такой спинор называем правым), мы заключили, что описываемая спинором частица без устали "жужжит, летает". Но это лишь часть картины, мы обошли вниманием орбитальную часть волновой функции: она у нас как бы отдыхала в сторонке.

В величины $(\rho, \, \mathbf{j})$ входит произведение компонент спинора с комплексно сопряжёнными компонентами, поэтому прежние выкладки не испортятся при домножении чисел $u_1, \, u_2$ на волновую функцию в виде фазового множителя, т.е. при домножении на плоскую волну $e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}}t}.$

Однако такая плоская волна "жужжит, летает" сама по себе, не спрашивая у спинора, куда и как быстро ей лететь. Она летит с групповой скоростью $\mathbf{v},$ определяемой производными частоты $\omega_{\mathbf{k}}=\sqrt{|\mathbf{k}|^2+m}$ по волновому вектору:

$v_x=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_x}=\frac{k_x}{\omega_{\mathbf{k}}} \, , \quad v_y=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_y}=\frac{k_y}{\omega_{\mathbf{k}}} \, ,\quad v_z=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_z}=\frac{k_z}{\omega_{\mathbf{k}}} \, .$

Чтобы сделать величину этой скорости равной $1,$ можно руками положить массу $m=0;$ тогда $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|$ и $\mathbf{v}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ есть единичный вектор. А чтобы направить такой вектор против (в случае левого спинора) или вдоль (в случае правого спинора) $2\mathbf{s}=u^+\boldsymbol{\sigma} u /u^+u,$ можно руками выбрать $\mathbf{k}$ направленным именно туда.

Но более естественно не подгонять вручную плоскую волну под произвольно заданный спинор, а считать произвольно заданным аргументом импульс частицы (при $\hbar=1$ импульс $\hbar \mathbf{k}$ это то же самое, что волновой вектор $\mathbf{k}),$ и подчинить спинор с плоской волной

$u\, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}$

некоему уравнению движения, которое само установит $\omega=\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|,$ и само сделает компоненты спинора такими, чтобы направление спина $\mathbf{s}$ должным образом соответствовало произвольно заданному направлению $\mathbf{k}.$

Попробуем понять, как должно быть устроено уравнение движения (сначала для спинорной плоской волны, а затем для спинорного поля в общем виде. Для определённости, пусть речь идёт о левых спинорах. Повторить аналогичные рассуждения для правых спиноров - упражнение).

Пусть $\mathbf{N}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ - единичный вектор вдоль заданного $\mathbf{k}.$ В качестве лёгкого упражнения можете проверить, что следующие две матрицы составляют полную систему проекционных операторов, действующих на 2-компонентные спиноры:

$\text{П}_{\mathbf{N}}=(1/2)(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

$\text{П}_{-\mathbf{N}}=(1/2)(1-\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

(проверяется, что квадрат каждой из этих матриц равен ей самой, причём $\text{П}_{\mathbf{N}}+\text{П}_{-\mathbf{N}}=1\, ,$ $ \text{П}_{\mathbf{N}} \text{П}_{-\mathbf{N}}=0.)$

Если спинор $u$ даёт вектор спина $\mathbf{s}$ в направлении против $\mathbf{N},$ то он собственный для $\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}$ с собственным значением $(-1),$ и поэтому он собственный для $\text{П}_{-\mathbf{N}}$ с с. зн. $1,$ а для $\text{П}_{\mathbf{N}}$ он собственный с нулевым с.зн.:

$\text{П}_{\mathbf{N}} \, u=0 \, .$

Можно считать, что это условие и служит уравнением для спинора $u:$ левый спинор не содержит правой составляющей. Решение его соответствует состоянию частицы со спином $\mathbf{s}$ в направлении против $\mathbf{N}.$ Умножив обе стороны этого спинорного уравнения на $2|\mathbf{k}|,$ получим то же самое уравнение в немного другом виде:

$(|\mathbf{k}| + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$

Теперь усовершенствуем его так, что оно позволит решить сразу обе задачи - определить зависимость частоты от волнового вектора, и зависимость компонент спинора от волнового вектора. Заменим в уравнении слагаемое $|\mathbf{k}|$ параметром $\omega$ с заранее не известным нам значением:

$(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$

Получилась система двух линейных однородных алгебраических уравнений для $u_1, u_2:$

$\left[\begin{array}{cc}\omega+k_z & k_x-ik_y\\k_x+ik_y & \omega-k_z\end{array}\right] \begin{bmatrix} u_1\\ u_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$

Чтобы такая система имела отличное от нуля решение, следует приравнять нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; тем самым возникает уравнение для $\omega:$

$\omega^2-|\mathbf{k}|^2=0 \, .$

Оно имеет два корня, положительный и отрицательный: $\omega= \pm \omega_{\mathbf{k}} \, ,$ где $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|.$

Чтобы плоская волна с параметром $\omega$ могла претендовать по своему смыслу на волновую функцию частицы с энергией $\omega$ (у нас $\hbar=1,$ поэтому частоту $\omega$ можем понимать как энергию $\hbar \omega),$ выберем положительный корень: $\omega=\omega_{\mathbf{k}}.$ Подставив это в систему и решив её, получим некоторый спинор (с точностью до произвольного нормировочного множителя); обозначим его как $u(\mathbf{k}),$ он описывает частицу со спином $\mathbf{s},$ направленным противоположно заданному $\mathbf{k}.$

Итак, решением уравнения для плоско-волновой спинорной конфигурации c положительной частотой

$(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})\, u \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0$

является спинор (без учёта произвольного нормировочного множителя):

$u(\mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$


Мы рассмотрели уравнение движения "в импульсном представлении". То же самое уравнение можно записать с помощью операторов дифференцирования $\partial _{\mu}$ по пространственно-временным координатам, т. е. $(\partial / \partial t, \, \nabla):$

$(i \frac{\partial}{\partial t} -i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, u \,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0 \, .$

Наконец, итоговое обобщение - подчиняем этому уравнению произвольное левое спинорное поле $\psi_L(t, \mathbf{r}):$

$(i \frac{\partial}{\partial t} -i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \psi_L(t, \mathbf{r})=0 \, .$

Для краткой записи полезно ввести в дело обозначение $x$ вместо $t, \mathbf{r}$ и матричный "4-вектор" $\bar{\sigma}^{\mu}$ с компонентами $(\hat 1, -\boldsymbol{\sigma});$ тогда уравнение принимает вид:

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=0 \, .$


Частные решения в виде плоских волн с положительными частотами нам уже известны. Поскольку уравнение линейное и однородное, то решением будет и их линейная комбинация с произвольными числовыми коэффициентами $a_{\mathbf{k}}$ (при этом спиноры $u(\mathbf{k})$ можно считать нормированными каким-либо "стандартным" условием, в которое пока не вникаем):

$\sum_{\mathbf{k}} \, a_{\mathbf{k}}\, u(\mathbf{k})\,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Это не самое общее решение, а лишь часть общего решения, называемая "положительно-частотной" частью. Легко проверить, что решением прежнего "уравнения движения в импульсном представлении" будет также плоская волна с противоположным знаком показателя экспоненты, т.е. плоская волна с отрицательной частотой $\omega=-\omega_{\mathbf{k}}:$

$u(\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Поэтому в общее решение $\psi_L(x)$ однородного спинорного уравнения $i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \psi_L(x)=0$ должна войти наряду с положительно-частотной частью также и линейная комбинация отрицательно-частотных волн; их произвольные коэффициенты обозначим как $b^*_{\mathbf{k}}:$

$\psi_L(x)=\sum_{\mathbf{k}}\, a_{\mathbf{k}}\, u(\mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} + \sum_{\mathbf{k}} \, b^*_{\mathbf{k}} \, u(\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Знак перед $\mathbf{k}$ в этих суммах не особо важен, так как его при желании можно изменить, вводя новую переменную суммирования $(-\mathbf{k}).$ Знак частоты при этом не меняется, так как $\omega_{\mathbf{k}}=\omega_{-\mathbf{k}}.$

Отрицательную частоту $(-\omega_{\mathbf{k}})$ нельзя интерпретировать как энергию частицы: эта отрицательная частота неограниченно уменьшается, а не растёт (как положено энергии) с ростом импульса частицы. Значит, и отрицательно-частотная часть решения уравнения движения не имеет привычного в КМ смысла волновой функции частицы.

Таким образом созрел вопрос, что называется, "на засыпку": как интерпретировать наличие у релятивистского полевого уравнения отрицательно-частотных решений, и что с ними делать дальше (в каких-либо осмысленных физических задачах)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение20.05.2017, 21:33 


28/08/13
251
Цитата:
Пусть $\mathbf{N}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ - единичный вектор вдоль заданного $\mathbf{k}.$ В качестве лёгкого упражнения можете проверить, что следующие две матрицы составляют полную систему проекционных операторов, действующих на 2-компонентные спиноры:

$\text{П}_{\mathbf{N}}=(1/2)(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

$\text{П}_{-\mathbf{N}}=(1/2)(1-\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

(проверяется, что квадрат каждой из этих матриц равен ей самой, причём $\text{П}_{\mathbf{N}}+\text{П}_{-\mathbf{N}}=1\, ,$ $ \text{П}_{\mathbf{N}} \text{П}_{-\mathbf{N}}=0.)$

Поскольку $\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{N}$ и выше было доказано, что $(\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma})^2=1,$
$\text{П}_{\mathbf{N}}^2=(1+2\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}+1)/4=(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma})/2=\text{П}_{\mathbf{N}.$
Остальные соотношения также считаются в уме
В этих обозначениях правый спинор буде сотбственным с единичным собственным значением для $\text{П}_{\mathbf{N}}$ и с нулевым - для $\text{П}_{\mathbf{-N}},$ т.е.

$$\text{П}_{\mathbf{-N}}u_R=0.$$
Умножив обе стороны этого ур-я на $2|\mathbf{k}|,$ получим
$(|\mathbf{k}| - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$ отсюда

$(\omega-\mathbf{k}\cdot\boldsymbol{\sigma})u=0, \ $ или же

$\begin{pmatrix}\omega-k_z & -k_x+ik_y\\-k_x-ik_y & \omega+k_z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$
Зануляя определитель, получаем то же самое
$\omega^2-|\mathbf{k}|^2=0,$
что операторами дифференцирования перепишется в виде
$(i \frac{\partial}{\partial t} +i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, u \,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0 \, .$
В силу линейности это будет также для произвольного правого спинорного поля:
$(i \frac{\partial}{\partial t} +i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \psi_R(t, \mathbf{r})=0 \, .$
Ну и аналогично будет отрицательно-частотное решение и разложение общего решения по соотв. экспонентам.
Цитата:
Таким образом созрел вопрос, что называется, "на засыпку": как интерпретировать наличие у релятивистского полевого уравнения отрицательно-частотных решений, и что с ними делать дальше (в каких-либо осмысленных физических задачах)?

Думаю, я здесь не буду оригинален: вслед за Дираком введём "море электронов" с принципом Паули, заполняющее все отрицательно-частотные(энергетические) состояния из которого при получении определённой энергии электрон может "вылететь", создав там дырку, соотв. частице с энергией, импульсом и спином, противоположного имеющемуся в наших разложениях знака.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение21.05.2017, 00:11 
Заслуженный участник


29/09/14
652
Хорошо. И да, "дырка в море Дирака" - наглядная аналогия для понятия "античастица" в случае частиц, подчиняющихся принципу запрета Паули. (В обсуждаемой нами игрушке рассматриваются ещё не настоящие электроны, а безмассовые фермионы: что-то вроде безмассовых нейтрино, если бы такие существовали в природе.) Похожая идея о дырках, как о разновидности "квазичастиц", хорошо себя оправдала в физике полупроводников, а также и металлов.

Но считать море Дирака реальностью не стоит. В КТП релятивистские уравнения поля имеют отрицательно-частотные решения также и в случае бозонных полей; для бозонов нет принципа запрета, "моря Дирака" быть не может, но античастицы, тем не менее, есть.

Решение "проблемы отрицательно-частотных волн" в КТП, применимое и к фермионам и к бозонам, радикальное - в общем случае отказаться от интерпретации поля $\psi(x)$ как волновой функций одной частицы, и считать $\psi(x)$ оператором $\hat{\psi}(x)$: амплитуды $a_{\mathbf{k}}$ положительно-частотных составляющих заменяются операторами уничтожения $\hat{a}_{\mathbf{k}}$ частиц с импульсами $\mathbf{k}$ и с положительными энергиями $\omega_{\mathbf{k}},$ амплитуды $b^*_{\mathbf{k}}$ отрицательно-частотных составляющих заменяются операторами рождения $\hat{b}^{\dagger}_{\mathbf{k}}$ античастиц с импульсами $\mathbf{k}$ и тоже с положительными энергиями $\omega_{\mathbf{k}}.$ Т. е. главной идеей оказалась не картина "дырки в ферми-море", а некое, не очень-то очевидное, соответствие между отрицательными частотами в КТП и понятием "античастица". Вот цитата на этот счёт:
С. Вайнберг в томе 1 Квантовой теории полей писал(а):
<...> в результате развития квантовой теории поля интерпретация античастиц как дырок стала ненужной, несмотря на то, что до сих пор она, к сожалению,просачивается на страницы многих учебников. Процитируем Джулиана Швингера: «Картина бесконечного моря электронов с отрицательной энергией рассматривается сейчас в лучшем случае как исторический курьез и прочно забыта».

Вместо операторного формализма в КТП может применяться метод континуального интегрирования по полям, а также (может быть, менее известный) швингеровский "метод источников".

Последний удобен для быстрого пояснения понятия одночастичного пропагатора. (Попробую составить такое пояснение, сначала опять-таки на прежнем примере безмассовых спиноров; но не знаю, как быстро справлюсь). А пока советую Вам продолжать по книгам разбираться с формализмом полевых операторов. А также, в качестве опережающего упражнения к пояснениям о пропагаторах, подумайте, как решить уравнение для, например, левого спинорного безмассового поля $\psi_L(x)$ в присутствии спинорного же произвольного источника $J(x):$

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=J(x) \, .$

Заодно полезно убедиться, что $\partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)$ преобразуется как правый спинор, так что в указанном неоднородном уравнении надо считать $J(x)$ правым спинорным полем $J_R(x).$ В аналогичном неоднородном уравнении для правого спинорного поля

$i \partial _{\mu} \sigma^{\mu} \, \psi_R(x)=J(x) $

источник должен быть левым спинором $J_L(x);$ в этом уравнении матрицами $\sigma^{\mu}$ являются $\hat 1, \, \boldsymbol{\sigma}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение25.05.2017, 22:53 


28/08/13
251
Cos(x-pi/2) в сообщении #1217693 писал(а):
А также, в качестве опережающего упражнения к пояснениям о пропагаторах, подумайте, как решить уравнение для, например, левого спинорного безмассового поля $\psi_L(x)$ в присутствии спинорного же произвольного источника $J(x):$

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=J(x) \, .$

Формально - с помощью функции Грина. Саму функцию попробую сделать в ближайшее время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение26.05.2017, 00:27 
Заслуженный участник


29/09/14
652
Ascold
К упражнениям о преобразованиях Лоренца добавка: надо убедиться (не обязательно на форуме), что

. $\psi_L^+ \varphi_R$ и $\varphi_R^+ \psi_L$ - инварианты, если $\psi_L$ и $\varphi_R$ преобразуются как левый и правый 2-компонентные спиноры.

. Пусть $g$ означает антисимметричную вещественную матрицу: $g=i\sigma_y=\big[\begin{smallmatrix}\,0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\big] \, .$

Тогда $g\psi_L^*$ преобразуется как правый спинор. Пусть $u_{-}(\mathbf{k})$ обозначает спинор со спином против направления $\mathbf{k}.$ Тогда операция $(g...)^*$ превращает его в спинор $u_{+}(\mathbf{k})$ со спином вдоль $\mathbf{k}.$ Дело в том, что стандартные матрицы Паули $\sigma_x, \, \sigma_z$ не меняются при комплексном сопряжении и антикоммутируют с $g=i\sigma_y,$ а матрица $\sigma_y$ коммутирует с $g,$ но зато меняет знак при комплексном сопряжении. Поэтому протаскивание $g$ через $\boldsymbol{\sigma}^*$ действует как замена $\boldsymbol{\sigma}$ на $-\boldsymbol{\sigma},$ и поэтому и матрица лоренц-преобразования $L_L$ переходит в $L_R,$ и проектор $\text{П}_{-\mathbf{N}$ переходит в $\text{П}_{\mathbf{N}.$ Эти проекторы далее обозначаем как $\text{П}_{-\mathbf{k}$ и $\text{П}_{\mathbf{k}.$

. Нам потребуется преобразование Фурье (указанные ниже свойства следует проверить, запомнить выбор множителей, выбор знаков в показателях. Фурье-компоненту $\psi(k)=\psi(\omega, \mathbf{k})$ для любой функции $\psi(x)=\psi(t, \mathbf{r})$ (или для совокупности функций - компонент спинора) обозначаем ради краткости той же буквой, хотя это разные функции. Следует отличать $\omega$ от $\omega_{\mathbf{k}},$ и помнить, что интегрирование по частоте $\omega$ (а также по времени) ведётся от $-\infty$ до $\infty,$ хотя это не указывается явно).

Пусть (в краткой записи): $\psi(x)=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \psi(k)\, e^{-ikx} \, ,$ то есть в подробной записи:

$\psi(t, \mathbf{r})=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \int \frac{d \omega}{2\pi} \, \psi(\omega, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega t} \, .$

Тогда: $\psi(k)=\int d^4x \, \psi(x)\, e^{ikx} \, ,$ то есть:

$\psi(\omega, \mathbf{k})=\int d^3\mathbf{r} \int dt \, \psi(t, \mathbf{r}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega t} \, .$

Надо следить за положением знака комплексного сопряжения: $\psi^*(k)$ не обязано совпадать с $\psi(k)^*,$ так как $\psi^*(k)$ - фурье-амплитуда для $\psi(x)^*,$ а $\psi(k)^*$ - сопряжённая фурье-амплитуда для $\psi(x).$ Проверьте (в краткой и в подробной записи), что:

$\psi^*(k)^*=\psi(-k)\, .$

Переходим к знакомству с фейнмановским пропагатором вейлевского фермиона. План видится такой. Сначала убедимся, что с пропагатором связаны 1-частичные амплитуды перехода между источником и приёмником равноправно для частицы и для античастицы. Пример вейлевского фермиона хорош простотой: такой фермион хотя и обладает спином, но не обладает спиновой "степенью свободы" - спин левой частицы всегда направлен против её импульса, а её античастица - всегда правая, со спином вдоль импульса. В дальнейшем сравнение с этим примером поможет понять более сложный пример: дираковский фермион с массой; у него есть спиновая степень свободы - спин может иметь любое направление относительно импульса.

(дико много букв об источниках, об амплитудах перехода, о пропагаторе :))

Пусть заданы два спинорных поля: $J(x)$ и $K(x),$ оба правые в смысле закона преобразования при бустах. Слово "заданы" означает, что мы не считаем их решениями уравнений движения; они произвольные, и поэтому в фурье-разложении $J(x)$ и $K(x)$ по плоским волнам отличны от нуля амплитуды не только правых спиноров (в смысле со спином вдоль импульса) но и левых. Правые и левые базисные спиноры будем обозначать как $u_{+}(\mathbf{k})$ и $u_{-}(\mathbf{k}).$ Частота $\omega$ у плоских волн произвольно заданных полей принимает всевозможные положительные и отрицательные значения, а не только $\pm \omega_{\mathbf{k}}.$ Назовём $J(x)$ и $K(x)$ источниками; ниже выяснится, что тот источник, который включается во времени раньше, служит источником частиц, а который позже - приёмником.

Аналогия в классической механике: осциллятор в присутствии заданной внешней силы $F(t).$

Уравнение движения осциллятора $Q(t)$ есть $(d^2/dt^2+\omega_0^2)Q(t)=F(t).$ Пусть $F(t)$ действует (т. е. может быть не равна нулю) только на конечном интервале времени $(t_{\text{ нач}} <t<t_{\text{ кон}}),$ и пусть в её фурье-разложении есть составляющая с частотой свободных колебаний осциллятора $\omega_0,$ и пусть до начального момента времени $t_{\text{ нач}}$ осциллятор покоился. Тогда $F(t)$ служит источником колебаний осциллятора, т. е. источник передаёт осциллятору энергию: после выключения силы, при $t> t_{\text{ кон}},$ осциллятор будет совершать колебание с собственной частотой $\omega=\omega_0,$ амплитуда его пропорциональна фурье-амплитуде силы $F$ на этой частоте.

Если до включения $F(t)$ осциллятор уже совершал колебание, то сила $F(t)$ может его затормозить: после её выключения амплитуда колебаний станет меньше или даже осциллятор окажется покоящимся. В этих случаях источник является приёмником энергии от осциллятора.

Ещё вариант: если $F(t)$ состоит из двух неперекрывающихся во времени слагаемых, $F(t)=F_1(t)+F_2(t),$ и фурье-амплитуды слагаемых на собственной частоте осциллятора $\omega_0$ отличны от нуля, но в сумме взаимно уничтожаются, то осциллятор, покоящийся до включения первой части силы, останется покоящимся и после выключения последней части, а в промежутке времени между окончанием первой части и началом второй он будет совершать свободное колебание с частотой $\omega_0.$ Здесь происходит передача энергии от более раннего источника $F_1$ к позднему $F_2.$

Аналогичные задачи есть и в квантовой механике:

Покою классического осциллятора отвечает "основное состояние" квантового осциллятора" (а в КТП - "вакуум"). Если в классической задаче фурье-амплитуда источника на частоте $\omega_0$ мала, так что отдаваемая или получаемая им энергия колебаний мала по сравнению с $\hbar \omega_0,$ то в КМ это проявится как малость вероятности того, что источник изменит состояние осциллятора. Такой источник будем называть слабым.

В классической теории поля:

Вместо колебаний одного механического осциллятора $Q(t)$ рассматриваются "осцилляторы поля" - волны поля в пространстве-времени; поэтому вместо одной собственной частоты $\omega_0$ в задаче появляется множество собственных частот $\omega_{\mathbf{k}},$ "пронумерованных" волновым вектором $\mathbf{k}.$

В КТП:

Кванты энергии $\hbar \omega_{\mathbf{k}}$ и импульса $\hbar \mathbf{k}$ "осцилляторов поля" трактуются как частицы. Волны остаются только в роли инструмента для расчётов. Различные состояния "мира" описываются не картиной волн в нём, а количеством всевозможных частиц (и античастиц).

В задаче механики об осцилляторе мы можем не вникать в устройство источника силы $F(t).$ Аналогично и в КТП: источник $J(x)$ лишь феноменологически описывает совокупность физических условий, которые в данной области пространства-времени (где $J(x)$ может быть не равной нулю) обеспечивают возможность рождения или поглощения частиц. Поскольку функция $J(x)$ задана, то не учитывается влияние актов рождения и поглощения частиц на "состояние самого источника".



Спинорные источники $J(x)$ и $K(x)$ будем считать слабыми и действующими на конечных неперекрывающихся интервалах времени. Сначала рассмотрим случай, в котором пространственно-временная область с ненулевым $J(x)$ расположена раньше (т. е. в и/или на конусе прошлого) области, где задан ненулевой $K(x).$ Пусть квантовое состояние "мира" в нашей модельной задаче в далёком прошлом является вакуумным (ноль частиц), обозначим его как $|0\rangle.$ На любой пространственно-подобной поверхности в будущем после окончания действия слабого источника $J(x),$ но до того, как начнут действовать другие источники, состояние "мира" может остаться вакуумным (с вероятностью, близкой к $1),$ либо оно окажется 1-частичным (c вероятностью, малой в меру слабости источника), либо двух- и более частичным (этими вероятностями пренебрежём).

Амплитуды вероятностей это матричные элементы оператора эволюции. Интересуясь в первую очередь амплитудами перехода из $|0\rangle$ в то или иное 1-частичное состояние, возбуждённое источником $J(x),$ и учитывая, что 1-частичные состояния могут различаться импульсом частицы, обозначим эти амплитуды так: $\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J.$

Слабый источник $K(x),$ действующий после выключения $J(x),$ с вероятностью, близкой к $1,$ не изменит состояния "мира", либо с малой вероятностью добавит ещё одну частицу, либо поглотит имеющуюся. В последнем случае состояние в будущем опять становится вакуумным; амплитуду вероятности такого перехода обозначим как $\langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K.$ Амплитудами прочих переходов (т. е. многочастичных) пренебрежём.

С учётом всего этого 1-частичный вклад в амплитуду перехода $\langle 0|0 \rangle_{K,J}$ из начального вакуума в конечный вакуум при наличии источников $K$ и $J,$ указанным образом упорядоченных во времени, должен иметь вид суммы вкладов, отвечающих различным импульсам частицы:

$\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, .$

Связь этих амплитуд с функциями $J(x)$ и $K(x)$ можно предвидеть из соображений об однородности пространства и времени, варьируя положение источников. Сместим $J(x)$ на любое время $\tau$ в прошлое, т. е. заменим $J(t,\mathbf{r})$ на $J(t+\tau,\mathbf{r}).$ Тогда эволюция состояния, рождённого источником $J(t+\tau,\mathbf{r}),$ к прежней гиперповерхности будущего займёт добавочное время $\tau,$ и оно привнесёт в матричный элемент оператора эволюции добавочный фазовый множитель $e^{-iE\tau},$ где $E$ - энергия состояния. Для 1-частичного состояния: $E=\omega_{\mathbf{k}}.$ Аналогично, сдвиг источника $J(x)$ на любой вектор $\mathbf{a},$ т. е. замена аргумента $\mathbf{r}$ на $\mathbf{r-a},$ должна дать фазовый множитель $e^{-i\mathbf{P \cdot a}},$ где $\mathbf{P}$ - импульс состояния. Для 1-частичного состояния $\mathbf{P=k}.$ Именно такие фазовые множители выпускает фурье-амплитуда функции источника с аргументами $\omega_{\mathbf{k}}$ и $\mathbf{k}$, и, значит, амплитуда перехода $\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J$ связана с данной фурье-амплитудой:

$\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, \sim \, J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\int d^3\mathbf{r} \int dt \, J(t, \mathbf{r}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Матричные элементы оператора эволюции подчинены условию унитарности. Можно показать, что оно ведёт к определённому соотношению между амплитудами перехода с рождением и с поглощением частицы заданным слабым источником: $\langle 0| 1_{\mathbf{k}}\rangle_J=-(\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J)^*.$ Поглощать частицу у нас будет источник $K(x),$ так что:

$\langle 0| 1_{\mathbf{k}}\rangle_K \, \sim \, K(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})^* \, .$



Теперь найдём в общем виде спинорное поле $\psi(x),$ являющееся решением уравнения движения со спинорным источником $J(x):$

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi(x)=J(x) \, .$

Подставив сюда фурье-разложения по плоским волнам для $\psi(x)$ и $J(x),$ получим уравнение для спинорной фурье-амплитуды $\psi(k)$ (пишу в кратком виде, сделать выкладки в подробной записи - упражнение):

$k_{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi(k)=J(k) \, .$

Умножив обе стороны на $k_{\mu} {\sigma}^{\mu} = \omega - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma},$ и учитывая, что

$(\omega - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})=(\omega^2-|\mathbf{k}|^2)\hat 1=k^2 \hat 1 \, ,$

получим:

$\psi(k)=k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, \dfrac{1}{k^2} \, J(k) \, .$

Чтобы получить обратным фурье-преобразованием искомое поле $\psi(x),$ надо в интеграле по $\omega$ задать правило обхода полюсов $1/k^2=1/(\omega^2-|\mathbf{k}|^2).$ В КТП работает правило Фейнмана: к собственным частотам поля (у нас это $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|)$ добавляется бесконечно малая отрицательная мнимая часть $-i0.$ Изменённая так функция $1/k^2$ называется скалярным безмассовым фейнмановским пропагатором $D(k)$ в 4-импульсном представлении:

$D(k)=\dfrac{1}{k^2+i0}=\dfrac{1}{(\omega - \omega_{\mathbf{k}}+i0)(\omega + \omega_{\mathbf{k}}-i0)} \, .$

Матрицу $G(k)=k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, D(k)$ можно назвать спинорным пропагатором в 4-импульсном представлении; так что: $\psi(k)=G(k)J(k).$ В координатном представлении:

$\psi(x)=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \int \frac{d \omega}{2\pi} \, k_{\mu} {\sigma}^{\mu} D(k) J(k)  \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega t} \, .$



Вычислим это поле $\psi(t, \mathbf{r})$ после окончания работы источника $J$ т. е. при $t>t',$ где $t'$ - значения времени в области действия источника $J.$ Интегрирование по $\omega$ выполним контурным методом. Чтобы выбрать контур, заметим, что в интеграле

$J(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dt' \, J(t',\mathbf{k}) \, e^{i\omega t'}$

пределы можно заменить начальным и конечным значениями $t',$ между которыми действует $J,$ так как всюду вне этого интервала времени $J=0,$ и вклада в интеграл нет. Подставив эту формулу в интеграл по $\omega$ для $\psi(t, \mathbf{r}),$ увидим, что там имеется экспонента с показателем $-i\omega(t-t').$ Поскольку $t-t'>0,$ она убывает при устремлении $\omega$ к $-i \infty.$ Это означает, что путь интегрирования вдоль вещественных значений $\omega$ от $-\infty$ до $+\infty$ можно замкнуть полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости комплексной пременной $\omega,$ и такая полуокружность не даст вклада в результат. Результат есть $-2 \pi i \cdot \text{Вычет}$ в полюсе подынтегрального выражения при $\omega=\omega_{\mathbf{k}}-i0,$ попавшем внутрь этого замкнутого контура:

$\psi(x)|_{t>t'}=-i\int \frac{d^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, ( \omega_{\mathbf{k}}- \mathbf{k} \cdot  \boldsymbol{\sigma} ) \frac{1}{2\omega_{\mathbf{k}}} \, J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Заметим, что

$( \omega_{\mathbf{k}} - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \dfrac{1}{2 \omega_{\mathbf{k}}} = \dfrac{1}{2} \left ( 1-\dfrac{\mathbf{k}}{|\mathbf{k}|} \cdot \boldsymbol{\sigma} \right ) = \text{П}_{-\mathbf{k}}$

есть спинорный проектор, выделяющий из любого спинора левую составляющую. Таким образом:

$\psi(x)|_{t>t'}=-i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{-\mathbf{k}} \, J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Видно, что роль пропагатора $k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, D(k)$ свелась к "частотному и спинорному проецированию": для левого спинорного поля $\psi(x)|_{t>t'}$ этот пропагатор выделил из фурье-составляющих $J(k)$ источника $J(x)$ только левые и только положительно-частотные моды с частотами колебаний свободного поля $\omega_{\mathbf{k}}.$



Теперь вычислим результат взаимодействия этого левого спинорного поля с правым спинорным источником $K(x),$ который у нас работает позже, чем $J(x),$ и поэтому может выполнять роль приёмника частиц. В локальной теории поля взаимодействие полей описывается произведением полей в одной и той же точке $x$ пространства-времени (у нас это будет лоренц-инвариантная свёртка $K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}),$ и затем по $x$ выполняется интегрирование. Чтобы получить вклад в амплитуду перехода "вакуум-вакуум" со всеми необходимыми множителями, интеграл следует домножить на фазовый множитель $-i$ (это можно показать подробным рассмотрением понятия "вакуумная амплитуда" - отдельная очень большая тема однако :) Итак, вычисляем, меняя по ходу дела порядок интегрирований по $x$ и по $k_x,k_y,k_z:$

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}=-\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \,\int d^3\mathbf{r} \int dt \, K^+(t,\mathbf{r}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t} \,  \text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, .$

Видно, что здесь появляется фурье-амплитуда источника $K$ (значком Т обозначим транспонирование):

$\int d^3\mathbf{r} \int dt \, K^+(t,\mathbf{r}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t}=(K^*(-\omega_{\mathbf{k}},-\mathbf{k}))^T=(K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^*)^T=K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^+ \, ,$

так что:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}=-\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^+\text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}, \mathbf{k}) \, .$

Это выражение должно представлять $\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J.$ Чтобы придать ему такую форму, будем считать теперь, что поля рассматриваются в произвольно большом, но конечном нормировочном объёме $V$ с условиями периодичности; при этом, как известно, волновой вектор дискретен, а переход от интегрирования к суммированию формально сводится к замене

$\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, ...$ на $\frac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}} \, ... \, .$

Базисные спиноры $u_{-}(\mathbf{k})$ и $u_{+}(\mathbf{k}),$ собственные с собственным значением $1$ соответственно для проекторов $\text{П}_{-\mathbf{k}$ и $\text{П}_{\mathbf{k},$ взаимно ортогональны: $u_{-}(\mathbf{k})^+u_{+}(\mathbf{k})=0.$ Но мы их ещё не нормировали. Учитывая, что энергия или частота $\omega_{\mathbf{k}},$ как и плотность $u^+u$, преобразуется подобно временной компоненте 4-вектора, выберем следующие сохраняющиеся при лоренц-преобразованиях условия нормировки:

$u_{-}(\mathbf{k})^+u_{-}(\mathbf{k})=2\omega_{\mathbf{k}} \, , \qquad u_{+}(\mathbf{k})^+u_{+}(\mathbf{k})=2\omega_{\mathbf{k}} \, .$

Числовые коэффициенты разложения по этим базисным спинорам обозначим так: для источника $J$ буквами $a,$ для $J^*$ буквами $b,$ для $K$ буквами $c,$ для $K^*$ буквами $d,$ причём выделим в каждом из них множитель $\sqrt{V/2\omega_{\mathbf{k}}}.$ Следуя этой схеме, запишем сначала разложение по базисным спинорам для $J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}):$

$J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}a_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}a_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, .$

Тогда (поскольку левый проектор вычёркивает слагаемое с правым спинором и не изменяет слагаемое с левым спинором):

$\text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}a_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k}) \, .$

Этот спинор теперь надо свернуть с

$K(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}c_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}c_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, .$

Учитывая ортогональность и нормировку базисных спиноров, получим:

$K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^+\text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}\, c_{-}(\mathbf{k})^* \, a_{-}(\mathbf{k}) \, 2\omega_{\mathbf{k}} \, .$

Это выражение входит под знак суммы $(-1/V)\sum_{\mathbf{k}}\, ... \,,$ так что окончательно можем записать одночастичный вклад в вакуумную амплитуду в виде:


$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, ic_{-}(\mathbf{k})^* \, ia_{-}(\mathbf{k})=\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, .$


Отсюда видны определения 1-частичных (но пока ещё не античастичных) амплитуд перехода через фурье-компоненты слабых спинорных источников:

$\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J=ia_{-}(\mathbf{k})=\dfrac{iu_{-}(\mathbf{k})^+J(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, ,$

$\langle 0|1_{\mathbf{k}}\rangle_K=-(\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K)^*=ic_{-}(\mathbf{k})^*=\dfrac{i(u_{-}(\mathbf{k})^+K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k}))^*}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, .$




Теперь повторим аналогичные вычисления, начав с той части решения $\psi(t, \mathbf{r}),$ которая "распространяется назад во времени" - в область пространства-времени, предшествующую началу работы источника $J(t', \mathbf{r}).$ При $t<t'$ найденное выше решение уравнения движения $\psi(t, \mathbf{r})$ определяется вычетом в полюсе пропагатора в верхней полуплоскости комплексной частоты и поэтому содержит отрицательно-частотные волны. Результат

$\psi(x)|_{t<t'}=i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{\mathbf{k}} \, J(-\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} $

можно переписать иначе, заменяя переменную интегрирования $\mathbf{k}$ на $-\mathbf{k}:$

$\psi(x)|_{t<t'}=i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{-\mathbf{k}} \, J(-\omega_{\mathbf{k}}, -\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} \, ,$

и учитывая равенство $J(-k)=J^*(k)^*:$

$\psi(x)|_{t<t'}=i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{-\mathbf{k}} \, J^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})^* \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} \, ,$

Тогда результат взаимодействия этого спинорного поля с источником $K(x),$ который на этот раз пусть работает раньше, чем $J(x)$ (т. е. это другой источник $K$ и его следовало бы обозначить другой буквой, но для сравнения с предыдущим рассмотрением оставим прежнее обозначение), есть:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, (K^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}))^T\text{П}_{-\mathbf{k}} J^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})^* $

Вставим перед $\text{П}_{-\mathbf{k}}$ единичную матрицу $1=-gg,$ и учтём, что матрица $g$ вещественная и антисимметричная $(g^T=-g),$ и что $g\text{П}_{-\mathbf{k}}=\text{П}_{\mathbf{k}}^*g.$ Получаем:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \,  (gK^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}))^T (\text{П}_{\mathbf{k}} gJ^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}))^* $

Разложим присутствующие здесь спиноры $gK^*$ и $gJ^*$ по базисным спинорам $u_{-}(\mathbf{k}})$ и $u_{+}(\mathbf{k}}):$

$gK^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}d_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}d_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

$gJ^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}b_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}b_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

$\text{П}_{\mathbf{k}} \, gJ^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}b_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

Заменив, как и выше, интегрирование $\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3}$ суммированием $\frac{1}{V}\sum_{\mathbf{k}},$ имеем:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, d_{+}(\mathbf{k}) \, b_{+}(\mathbf{k})^* \, .$

Этот результат интерпретируется как вклад в амплитуду перехода "вакуум-вакуум", в котором источник $K,$ действующий первым во времени, испускает правую античастицу, а источник $J,$ действующий позднее, её поглощает. Обозначив наличие одной античастицы чертой над единицей, это утверждение можно записать так:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}} \rangle_J \, \langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K \, .$

Равноправность частиц и античастиц выявляется, если определения 1-античастичных амплитуд перехода через фурье-компоненты слабых спинорных источников ввести по той же самой схеме, что и для амплитуд с частицами; при этом, как видно, способность источников $K(x)$ и $J(x)$ создавать и поглощать античастицу описывается фурье-компонентами комплексно сопряжённых величин, $gK(x)^*$ и $gJ(x)^*:$

$\langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K=id_{+}(\mathbf{k})=\dfrac{iu_{+}(\mathbf{k})^+gK^*(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, ,$

$\langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}}\rangle_J=-(\langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J)^*=ib_{+}(\mathbf{k})^*=\dfrac{i(u_{+}(\mathbf{k})^+gJ^*(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k}))^*}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, .$



Тут всплывает нюанс. Расчёт $-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}$ дал нам $\sum_{\mathbf{k}} \, d_{+}(\mathbf{k})\,b_{+}(\mathbf{k})^*.$ Если переписать это с множителями $i,$ в соответствии с указанным выше определением амплитуд, то возникает минус перед суммой:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=-\sum_{\mathbf{k}} \, id_{+}(\mathbf{k}) \, ib_{+}(\mathbf{k})^*,$

И очерёдность сомножителей под знаком суммы получилась обратной к ожидавшейся.

Всё это исправляется, если принять, что числовые амплитуды спиноров $K$ и $J$ это не обычные числа, а грассмановы, т.е. антикоммутирующие переменные. (Обоснование и обсуждение "как с этим жить" - отдельный сюжет. Антикоммутативность спинорных полей в "методе источников" ведёт в итоге к ферми-статистике спинорных частиц и античастиц, что и позволяет говорить о них как о фермионах. В методе вторичного квантования (метод полевых операторов) вместо грассмановых амплитуд вводятся, в случае фермионов, антикоммутирующие операторы рождения и уничтожения. Метод полевых операторов, наверное, проще для расчётов, чем метод источников; последний же, имхо, позволил нам нагляднее "въехать" в вакуумную амплитуду и пропагаторы).

Тогда:

$d_{+}(\mathbf{k}) \, b_{+}(\mathbf{k})^*=- b_{+}(\mathbf{k})^*\, d_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

и тогда для одно-античастичного вклада в "амплитуду перехода вакуум-вакуум в присутствии источников" получается понятная на вид формула - совершенно аналогичная одночастичному вкладу:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}}\rangle_J \, \langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K \, .$




Резюмируя, полезно отметить, что решение $\psi(x)$ уравнения движения с источником $J(x)$ можно записать в кратком виде:

$\psi(x)=\int d^4x' \, G(x-x')J(x') \, ,$

где

$G(x-x')=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \, G(k) \, e^{-ik(x-x')}$

есть фейнмановский спинорный безмассовый пропагатор $G(k)=k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, D(k)$ в координатном представлении.

Тогда рассмотренный выше вклад $-i\int d^4x \, K^+\psi(x)$ в амплитуду перехода "вакууум-вакуум" $\langle 0| 0 \rangle_{K,J},$ возникающий за счёт распространения частицы или античастицы между источниками $K,\,J,$ принимает вид:


$-i\int d^4x \int d^4 x' \, K^+(x)G(x-x')J(x') \, .$


Если $K$ действует позже, чем $J,$ это выражение описывает распространение частицы от $J$ к $K$ и сводится к $\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J.$

Если $K$ действует раньше, чем $J,$ это выражение описывает распространение античастицы от $K$ к $J$ и сводится к $\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}}\rangle_J \, \langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K.$

Если $J$ и $K$ разделены пространственно-подобным интервалом, то понятия "раньше, позже" для них теряют лоренц-инвариантный смысл, и рассматриваемое выражение не сводится к амплитудам перехода реальной (т. е. с энергией $\omega=\omega_{\mathbf{k}}$) частицы или античастицы. В этом случае можно сказать, что пропагатор $G(x-x')$ описывает распространение виртуальной частицы или античастицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение31.05.2017, 19:10 


28/08/13
251
Cos(x-pi/2) в сообщении #1218836 писал(а):
полезно убедиться, что $\partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)$ преобразуется как правый спинор

Мне вот что любопытно - это доказательство подразумевает расписывание преобразования напрямую $\partial_\mu \ \to \ \Lambda_\mu^{\ \nu}\partial_\nu $ и $\psi_L \ \to \ L_L\psi_L$ с вычислением всех сумм и компонентов, или есть какие-то свойства матриц преобразования, позволяющие сделать это доказательство, минуя расписывание сумм и компонентов явно? А то уже второй лист идёт и думаю, не делаю ли я глупость вычислением "в лоб"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение01.06.2017, 03:08 
Заслуженный участник


29/09/14
652
Ну, я, будучи по природе лентяем, сам не расписывал всё покомпонентно, подглядывал в книжки, и притом ленился вникать в доказательства. Если отбросить строгость, то можно, наверное, так пояснить

(все подобные дела:)

В общем случае 2-компонентные спиноры преобразуются очень просто: матрицами 2х2 $L$ с определителем $\det L=1$ (это определение "спинора"). Для такой группы матриц есть по сути дела всего один инвариант, все остальные так или иначе сводятся к нему:

$\varphi_1 \chi_2 - \varphi_2 \chi_1 = \varphi^Tg\chi \, ,$

где

$\varphi_1, \varphi_2$ - компоненты спинора $\varphi,$
$\chi_1, \chi_2$ - компоненты спинора $\chi.$

Оба столбца-спинора преобразуются одной и той же матрицей $L.$ Проверяется "в лоб", что инвариантность указанного выражения следует из $\det L=1.$ На этом этапе ещё нет речи о левых или правых спинорах.

Тогда инвариантом является и комплексно сопряжённое число, т. е.

$\varphi^+g\chi^*=\varphi^+ \psi,$

где мы ввели обозначение $\psi=g\chi^*$ для столбца с компонентами $\psi_1=\chi_2^*,-\chi_1^*.$ Как преобразуется такой столбец $\psi \, ?$

Среди матриц $L$ можно выделить подгруппу унитарных матриц, $L^+=L^{-1},$ - такие матрицы описывают, как выясняется, обычные повороты спиноров. И выделить множество эрмитовых матриц, $L^+=L,$ - такие матрицы описывают, как выясняется, бусты спиноров. Замечаем, что преобразованный столбец $\psi'=g(L\chi)^*=gL^*\chi^*.$

Если $L$ - унитарная матрица, то $gL^*=Lg,$ и поэтому $\psi'=L\psi,$ т. е. по отношению к поворотам столбец $\psi=g\chi^*$ ведёт себя так же, как спинор $\varphi.$ Различия между левыми и правыми спинорами тут нет, $\varphi$ и $\psi$ можно рассматривать как равноправные спиноры по отношению к поворотам.

Если $L$ - эрмитова матрица, то $gL^*=L^{-1}g,$ т. е. $\psi'=L^{-1}\psi.$ Видно, что по отношению к бустам столбцы $\varphi$ и $\psi$ преобразуются различными (взаимно обратными) матрицами. Можно обозначить матрицу буста $L,$ например, как $L_R,$ спинор $\varphi$ - как $\varphi_R,$ матрицу $L^{-1}$ как $L_L,$ спинор $\psi$ как $\psi_L.$ Тогда рассмотренный инвариант есть $\varphi_R^+\psi_L.$

Инвариантом будет и $\psi_L^+\varphi_R;$ действительно:

$\psi'_L^+\varphi'_R= (L_L\psi_L)^+(L_R\varphi_R) = \psi_L^+L_L^+L_R\varphi_R = \psi_L^+\varphi_R \, ,$

где мы учли, что $L_L^+=L_L$ и $L_LL_R=1.$


Ранее мы видели, что $j^\mu=\psi_L^+\bar{\sigma}^{\mu}\psi_L$ ведёт себя как 4-вектор. Значит, его свёртка с любым 4-вектором (обозначим его, например, как $A^\mu)$ есть инвариант: $A_\mu j^\mu.$ Можно переписать его так:

$A_\mu j^\mu=A_\mu \psi_L^+\bar{\sigma}^\mu \psi_L=\psi_L^+A_\mu \bar{\sigma}^\mu \psi_L \, .$

Раз это инвариант, то он должен быть устроен как $\psi_L^+\varphi_R,$ то есть $A_\mu\bar{\sigma}^\mu\psi_L = \varphi_R$ преобразуется как правый спинор. Выражение $\partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L$ есть частный случай: роль $A_\mu$ играет $\partial_\mu.$

(P.S. Не задерживайтесь долго на этом, продвигайтесь к пропагаторам.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение06.06.2017, 19:51 


28/08/13
251
Цитата:
Не задерживайтесь долго на этом, продвигайтесь к пропагаторам.

Пришлось, к сожалению, задержаться, и не только на этом - ещё раз перечитал 2 главу Райдера, чтобу освежить в голове, как без уравнения Дирака появляются левые и правые спиноры. Однако странно - там вид преобразований спиноров при бустах не выводится, подобно преобразованиям при поворотах, а угадывается. Есть ли способ доказать этот закон, а не угадать его по коммутационным соотношениям для матриц бустов и при этом не строя биспиноров Дирака и гамма-матриц, не выводя (3.29-3.30) у Пескина?
Цитата:
Аналогично и в КТП: источник $J(x)$ лишь феноменологически описывает совокупность физических условий, которые в данной области пространства-времени (где $J(x)$ может быть не равной нулю) обеспечивают возможность рождения или поглощения частиц.

Аналогия понятна, однако тут возникает вопрос: почему движение частицы по пространству-времени нужно непременно трактовать как её рождение источником $J$ и уничтожение источником $K$? Если электрон, к примеру, "выдал себя" оставив трек или как-то ещё показав своё местоположение, то он же не уничтожен? Или рождение-уничтожение в данном случае подразумевает всё-таки не это, а коллапс волновой функции частицы, который наступает, при детектировании её положения?
Cos(x-pi/2) в сообщении #1218836 писал(а):
Сместим $J(x)$ на любое время $\tau$ в прошлое, т. е. заменим $J(t,\mathbf{r})$ на $J(t+\tau,\mathbf{r}).$ Тогда эволюция состояния, рождённого источником $J(t+\tau,\mathbf{r}),$ к прежней гиперповерхности будущего займёт добавочное время $\tau,$ и оно привнесёт в матричный элемент оператора эволюции добавочный фазовый множитель $e^{-iE\tau},$ где $E$ - энергия состояния.

Правильно я понимаю, что утверждение о множителе в элементе оператора матричной эволюции следует из того, что $$u(t,t_0)=T\{exp(-i\int_{t_0}^tH(t')dt')\} \ ?$$
Но как тогда с этим согласуется рассуждение о фазовом множителе с имульсом и координатой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение07.06.2017, 08:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4270
Ascold в сообщении #1222740 писал(а):
Если электрон, к примеру, "выдал себя" оставив трек или как-то ещё показав своё местоположение, то он же не уничтожен?
Нет, но здесь уже существенно, что электрон не свободный, а взаимодействующий с электромагнитным полем. Так что здесь электрон испустил фотон, а другой электрон (часть детектора) этот фотон поглотил. То есть в этом процессе рождается и уничтожается фотон, а не электрон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение07.06.2017, 11:06 


28/08/13
251
warlock66613 в сообщении #1222850 писал(а):
Нет, но здесь уже существенно, что электрон не свободный, а взаимодействующий с электромагнитным полем.

Т.е. в этой концепции источников-приёмников свободной частицы подразумевается, что в силу её "свободности" нельзя её обнаружить, кроме как создать или уничтожить? В принципе к этому и ведут соображения про осциллятор и его возмущения, изложенные Cos(x-pi/2) в сообщении от 26.05, но как-то странно всё это, честно говоря, что источник с одной стороны, сохраняет поле свободным, с другой - взаимодействует-таки с ним, имея возможность во время взаимодействия порождать-уничтожать частицы. Т.е. источник в ограниченный промежуток времени взаимодействует с кв. полем, но не как поле с полем через соотв. члены в гамильтониане, а как-то более обобщённо. Но при этом ведь всё равно на внутреннем уровне он должен включить какое-то взаимодействие, феноменологически в него спрятанное, так ведь? Почему же оно непременно должно быть столь радикальным - только уничтожение или рождение частиц?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение07.06.2017, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63227
Ascold в сообщении #1222868 писал(а):
Но при этом ведь всё равно на внутреннем уровне он должен включить какое-то взаимодействие, феноменологически в него спрятанное, так ведь? Почему же оно непременно должно быть столь радикальным - только уничтожение или рождение частиц?

На самом деле, такое "радикальное" взаимодействие - кирпичики, из которых складываются любые "менее радикальные". Фейнман тоже не любил этой идеи, но часто речь идёт о формальном рождении-уничтожении, из которых, как число из цифр, можно математически собрать любой другой процесс. То есть, по сути, мы рисуем фейнмановскую диаграмму процесса, а она состоит из:
- линий
- вершин.
Линии начинаются и кончаются в вершинах. Если мы хотим провзаимодействовать с частицей без её уничтожения, мы добавляем вершину, в которую частица входит и выходит. И дальше, мы называем, что если линия входит, то частица "уничтожается", а если линия выходит, - то частица "рождается". И получается, что мы уничтожаем частицу, и сразу рождаем её, такую же. Почему бы нет? Ведь все частицы (данного сорта) тождественны - в КТП это возникает в процедуре квантования поля, и если мы будем настаивать на нетождественности частиц, то им будут соответствовать разные поля́. Так что вопрос, провзаимодействовала ли частица без уничтожения, или была уничтожена, и родилась другая, или родилась та же самая, возродившись как при реинкарнации :-) - это вопрос чисто философский, "почесать языком", и математического выражения не имеет.

Тут ещё может скрестись мысль, что "взаимодействие без уничтожения" можно сделать слабым и в пределе нулевым, а добавление вершин на линию - дискретное действие. Тут надо вспомнить, что на самом деле процессу отвечает не одна диаграмма, а несколько, дающих вклад с разными комплексными амплитудами. И да, диаграммы "с одним актом взаимодействия", "с двумя" и так далее, отличаются друг от друга дискретно, но их вклад - меняется непрерывно, и в пределе может быть сделан нулевым, по сравнению со вкладом диаграммы "без актов взаимодействия". Несвободность движения частицы реализуется на уровне интерференции путей в квантовой механике. Если мы видим малое отклонение от свободного движения, то это на самом деле интерференция нескольких вкладов: свободного движения, одного сильного соударения (впрочем, может быть, малой энергии), двух и так далее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group