2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение18.05.2017, 00:18 
Заслуженный участник


29/09/14
610
Да. (Хорошо бы, конечно, поправить опечатку: в средних частях равенств для матриц $L_L, \, L_R$ потерялась матрица $\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\sigma};$ но если "правка" не работает, то уж ладно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение18.05.2017, 01:33 


28/08/13
238
Cos(x-pi/2) в сообщении #1217050 писал(а):
хорошо бы поправить опечатку

К сожалению, уже не получается.
Цитата:
3) Пытаемся выяснить, как этот левый ток преобразуется под действием буста:
$\mathbf{j'}_L=-u'^+\boldsymbol{\sigma}u'=-(L_Lu)^+\boldsymbol{\sigma}(L_Lu)=-u^+(L_L\boldsymbol{\sigma}L_L)u \, .$
Расчёт показал, что
$$\mathbf{j'}_L=-u^+\left(\boldsymbol{\sigma}-\frac{p}{m}\mathbf{n}+\frac{E-m}{m}(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}\right)u=-u^+\left(-\frac{p}{m}\mathbf{n}+\frac{E}{m}(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}+\boldsymbol{\sigma}-(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}\right)u,$$ т.е., с учётом предыдущего пункта,$$\mathbf{j'}_L=\frac{\rho\mathbf{V}+\mathbf{j}_{L||}}{\sqrt{1-V^2}}+\mathbf{j}_{L\perp}}.$$
Цитата:
Кстати, после этого подумайте, как убедиться в том, что рассматриваемый здесь в общем виде 4-ток $(\rho, \, \mathbf{j})$ соответствует движению именно со скоростью света.

4-ток должен иметь нулевой модуль - завтра попробую это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение19.05.2017, 18:49 


28/08/13
238
Итак, если компоненты левого спинора обозначить $u_1$ и $u_2,$ то
$$j_x=-u^+\sigma_xu=-u_1u_2^*-u_1^*u_2,$$ $$j_y=-u^+\sigma_yu=-i(u_2^*u_1-u_1^*u_2),$$
$$j_z=-u^+\sigma_zu=-|u_1|^2+|u_2|^2,$$ отсюда легко получается
$$|j^{(4)}|^2=\rho^2-j_x^2-j_y^2-j_x^z=0.$$
У меня по ходу расчёта возник такой вопрос - обязательно ли было вычислять и квадрировать компоненты, вдруг можно было проще - сразу доказать, что $|\mathbf{j}|^2=|-u^+\boldsymbol{\sigma}u|=|u^+u|^2 \ ?$
У меня не получилось в общем виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение19.05.2017, 21:12 
Заслуженный участник


29/09/14
610
Да, верно. Можно и в общем виде, если Вы уже убедились раньше, что вектор, определяемый равенством $2\mathbf{s}=(u^+\boldsymbol{\sigma}u)/(u^+u)$ есть единичный вектор (другими словами, если Вы уже убедились раньше, что величина вектора спина $\mathbf{s}$ в случае двухкомпонентного спинора всегда равна $1/2).$

Небольшое замечание: лучше квадрат 4-вектора обозначать именно как квадрат или как свёртку по двум 4-векторным индексам, а не как квадрат модуля. Например, если $A^{\mu}$ - компоненты 4-вектора $(A^0, \, A^x,A^y,A^z)=(A^0, \, \mathbf{A}),$ то:

$A^2=A_{\mu}A^{\mu}=A^{\mu}A_{\mu}=(A^0)^2-\mathbf{A \cdot A} \, .$

Модуль - величина неотрицательная, а квадрат 4-вектора в случае пространственно-подобного 4-вектора окажется отрицательным.

(Иду допечатывать продолжение рассказа про спиноры.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение20.05.2017, 02:07 
Заслуженный участник


29/09/14
610
Итак, пытаемся продвинуться дальше.

Понимая под компонентами произвольного спинора пару произвольных комплексных чисел $u_1, \,u_2,$ преобразующихся при бусте матрицей $L_L$ (такой спинор мы называем левым) или $L_R$ (такой спинор называем правым), мы заключили, что описываемая спинором частица без устали "жужжит, летает". Но это лишь часть картины, мы обошли вниманием орбитальную часть волновой функции: она у нас как бы отдыхала в сторонке.

В величины $(\rho, \, \mathbf{j})$ входит произведение компонент спинора с комплексно сопряжёнными компонентами, поэтому прежние выкладки не испортятся при домножении чисел $u_1, \, u_2$ на волновую функцию в виде фазового множителя, т.е. при домножении на плоскую волну $e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}}t}.$

Однако такая плоская волна "жужжит, летает" сама по себе, не спрашивая у спинора, куда и как быстро ей лететь. Она летит с групповой скоростью $\mathbf{v},$ определяемой производными частоты $\omega_{\mathbf{k}}=\sqrt{|\mathbf{k}|^2+m}$ по волновому вектору:

$v_x=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_x}=\frac{k_x}{\omega_{\mathbf{k}}} \, , \quad v_y=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_y}=\frac{k_y}{\omega_{\mathbf{k}}} \, ,\quad v_z=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_z}=\frac{k_z}{\omega_{\mathbf{k}}} \, .$

Чтобы сделать величину этой скорости равной $1,$ можно руками положить массу $m=0;$ тогда $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|$ и $\mathbf{v}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ есть единичный вектор. А чтобы направить такой вектор против (в случае левого спинора) или вдоль (в случае правого спинора) $2\mathbf{s}=u^+\boldsymbol{\sigma} u /u^+u,$ можно руками выбрать $\mathbf{k}$ направленным именно туда.

Но более естественно не подгонять вручную плоскую волну под произвольно заданный спинор, а считать произвольно заданным аргументом импульс частицы (при $\hbar=1$ импульс $\hbar \mathbf{k}$ это то же самое, что волновой вектор $\mathbf{k}),$ и подчинить спинор с плоской волной

$u\, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}$

некоему уравнению движения, которое само установит $\omega=\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|,$ и само сделает компоненты спинора такими, чтобы направление спина $\mathbf{s}$ должным образом соответствовало произвольно заданному направлению $\mathbf{k}.$

Попробуем понять, как должно быть устроено уравнение движения (сначала для спинорной плоской волны, а затем для спинорного поля в общем виде. Для определённости, пусть речь идёт о левых спинорах. Повторить аналогичные рассуждения для правых спиноров - упражнение).

Пусть $\mathbf{N}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ - единичный вектор вдоль заданного $\mathbf{k}.$ В качестве лёгкого упражнения можете проверить, что следующие две матрицы составляют полную систему проекционных операторов, действующих на 2-компонентные спиноры:

$\text{П}_{\mathbf{N}}=(1/2)(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

$\text{П}_{-\mathbf{N}}=(1/2)(1-\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

(проверяется, что квадрат каждой из этих матриц равен ей самой, причём $\text{П}_{\mathbf{N}}+\text{П}_{-\mathbf{N}}=1\, ,$ $ \text{П}_{\mathbf{N}} \text{П}_{-\mathbf{N}}=0.)$

Если спинор $u$ даёт вектор спина $\mathbf{s}$ в направлении против $\mathbf{N},$ то он собственный для $\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}$ с собственным значением $(-1),$ и поэтому он собственный для $\text{П}_{-\mathbf{N}}$ с с. зн. $1,$ а для $\text{П}_{\mathbf{N}}$ он собственный с нулевым с.зн.:

$\text{П}_{\mathbf{N}} \, u=0 \, .$

Можно считать, что это условие и служит уравнением для спинора $u:$ левый спинор не содержит правой составляющей. Решение его соответствует состоянию частицы со спином $\mathbf{s}$ в направлении против $\mathbf{N}.$ Умножив обе стороны этого спинорного уравнения на $2|\mathbf{k}|,$ получим то же самое уравнение в немного другом виде:

$(|\mathbf{k}| + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$

Теперь усовершенствуем его так, что оно позволит решить сразу обе задачи - определить зависимость частоты от волнового вектора, и зависимость компонент спинора от волнового вектора. Заменим в уравнении слагаемое $|\mathbf{k}|$ параметром $\omega$ с заранее не известным нам значением:

$(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$

Получилась система двух линейных однородных алгебраических уравнений для $u_1, u_2:$

$\left[\begin{array}{cc}\omega+k_z & k_x-ik_y\\k_x+ik_y & \omega-k_z\end{array}\right] \begin{bmatrix} u_1\\ u_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$

Чтобы такая система имела отличное от нуля решение, следует приравнять нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; тем самым возникает уравнение для $\omega:$

$\omega^2-|\mathbf{k}|^2=0 \, .$

Оно имеет два корня, положительный и отрицательный: $\omega= \pm \omega_{\mathbf{k}} \, ,$ где $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|.$

Чтобы плоская волна с параметром $\omega$ могла претендовать по своему смыслу на волновую функцию частицы с энергией $\omega$ (у нас $\hbar=1,$ поэтому частоту $\omega$ можем понимать как энергию $\hbar \omega),$ выберем положительный корень: $\omega=\omega_{\mathbf{k}}.$ Подставив это в систему и решив её, получим некоторый спинор (с точностью до произвольного нормировочного множителя); обозначим его как $u(\mathbf{k}),$ он описывает частицу со спином $\mathbf{s},$ направленным противоположно заданному $\mathbf{k}.$

Итак, решением уравнения для плоско-волновой спинорной конфигурации c положительной частотой

$(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})\, u \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0$

является спинор (без учёта произвольного нормировочного множителя):

$u(\mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$


Мы рассмотрели уравнение движения "в импульсном представлении". То же самое уравнение можно записать с помощью операторов дифференцирования $\partial _{\mu}$ по пространственно-временным координатам, т. е. $(\partial / \partial t, \, \nabla):$

$(i \frac{\partial}{\partial t} -i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, u \,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0 \, .$

Наконец, итоговое обобщение - подчиняем этому уравнению произвольное левое спинорное поле $\psi_L(t, \mathbf{r}):$

$(i \frac{\partial}{\partial t} -i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \psi_L(t, \mathbf{r})=0 \, .$

Для краткой записи полезно ввести в дело обозначение $x$ вместо $t, \mathbf{r}$ и матричный "4-вектор" $\bar{\sigma}^{\mu}$ с компонентами $(\hat 1, -\boldsymbol{\sigma});$ тогда уравнение принимает вид:

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=0 \, .$


Частные решения в виде плоских волн с положительными частотами нам уже известны. Поскольку уравнение линейное и однородное, то решением будет и их линейная комбинация с произвольными числовыми коэффициентами $a_{\mathbf{k}}$ (при этом спиноры $u(\mathbf{k})$ можно считать нормированными каким-либо "стандартным" условием, в которое пока не вникаем):

$\sum_{\mathbf{k}} \, a_{\mathbf{k}}\, u(\mathbf{k})\,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Это не самое общее решение, а лишь часть общего решения, называемая "положительно-частотной" частью. Легко проверить, что решением прежнего "уравнения движения в импульсном представлении" будет также плоская волна с противоположным знаком показателя экспоненты, т.е. плоская волна с отрицательной частотой $\omega=-\omega_{\mathbf{k}}:$

$u(\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Поэтому в общее решение $\psi_L(x)$ однородного спинорного уравнения $i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \psi_L(x)=0$ должна войти наряду с положительно-частотной частью также и линейная комбинация отрицательно-частотных волн; их произвольные коэффициенты обозначим как $b^*_{\mathbf{k}}:$

$\psi_L(x)=\sum_{\mathbf{k}}\, a_{\mathbf{k}}\, u(\mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} + \sum_{\mathbf{k}} \, b^*_{\mathbf{k}} \, u(\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Знак перед $\mathbf{k}$ в этих суммах не особо важен, так как его при желании можно изменить, вводя новую переменную суммирования $(-\mathbf{k}).$ Знак частоты при этом не меняется, так как $\omega_{\mathbf{k}}=\omega_{-\mathbf{k}}.$

Отрицательную частоту $(-\omega_{\mathbf{k}})$ нельзя интерпретировать как энергию частицы: эта отрицательная частота неограниченно уменьшается, а не растёт (как положено энергии) с ростом импульса частицы. Значит, и отрицательно-частотная часть решения уравнения движения не имеет привычного в КМ смысла волновой функции частицы.

Таким образом созрел вопрос, что называется, "на засыпку": как интерпретировать наличие у релятивистского полевого уравнения отрицательно-частотных решений, и что с ними делать дальше (в каких-либо осмысленных физических задачах)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение20.05.2017, 21:33 


28/08/13
238
Цитата:
Пусть $\mathbf{N}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ - единичный вектор вдоль заданного $\mathbf{k}.$ В качестве лёгкого упражнения можете проверить, что следующие две матрицы составляют полную систему проекционных операторов, действующих на 2-компонентные спиноры:

$\text{П}_{\mathbf{N}}=(1/2)(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

$\text{П}_{-\mathbf{N}}=(1/2)(1-\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

(проверяется, что квадрат каждой из этих матриц равен ей самой, причём $\text{П}_{\mathbf{N}}+\text{П}_{-\mathbf{N}}=1\, ,$ $ \text{П}_{\mathbf{N}} \text{П}_{-\mathbf{N}}=0.)$

Поскольку $\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{N}$ и выше было доказано, что $(\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma})^2=1,$
$\text{П}_{\mathbf{N}}^2=(1+2\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}+1)/4=(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma})/2=\text{П}_{\mathbf{N}.$
Остальные соотношения также считаются в уме
В этих обозначениях правый спинор буде сотбственным с единичным собственным значением для $\text{П}_{\mathbf{N}}$ и с нулевым - для $\text{П}_{\mathbf{-N}},$ т.е.

$$\text{П}_{\mathbf{-N}}u_R=0.$$
Умножив обе стороны этого ур-я на $2|\mathbf{k}|,$ получим
$(|\mathbf{k}| - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$ отсюда

$(\omega-\mathbf{k}\cdot\boldsymbol{\sigma})u=0, \ $ или же

$\begin{pmatrix}\omega-k_z & -k_x+ik_y\\-k_x-ik_y & \omega+k_z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$
Зануляя определитель, получаем то же самое
$\omega^2-|\mathbf{k}|^2=0,$
что операторами дифференцирования перепишется в виде
$(i \frac{\partial}{\partial t} +i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, u \,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0 \, .$
В силу линейности это будет также для произвольного правого спинорного поля:
$(i \frac{\partial}{\partial t} +i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \psi_R(t, \mathbf{r})=0 \, .$
Ну и аналогично будет отрицательно-частотное решение и разложение общего решения по соотв. экспонентам.
Цитата:
Таким образом созрел вопрос, что называется, "на засыпку": как интерпретировать наличие у релятивистского полевого уравнения отрицательно-частотных решений, и что с ними делать дальше (в каких-либо осмысленных физических задачах)?

Думаю, я здесь не буду оригинален: вслед за Дираком введём "море электронов" с принципом Паули, заполняющее все отрицательно-частотные(энергетические) состояния из которого при получении определённой энергии электрон может "вылететь", создав там дырку, соотв. частице с энергией, импульсом и спином, противоположного имеющемуся в наших разложениях знака.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение21.05.2017, 00:11 
Заслуженный участник


29/09/14
610
Хорошо. И да, "дырка в море Дирака" - наглядная аналогия для понятия "античастица" в случае частиц, подчиняющихся принципу запрета Паули. (В обсуждаемой нами игрушке рассматриваются ещё не настоящие электроны, а безмассовые фермионы: что-то вроде безмассовых нейтрино, если бы такие существовали в природе.) Похожая идея о дырках, как о разновидности "квазичастиц", хорошо себя оправдала в физике полупроводников, а также и металлов.

Но считать море Дирака реальностью не стоит. В КТП релятивистские уравнения поля имеют отрицательно-частотные решения также и в случае бозонных полей; для бозонов нет принципа запрета, "моря Дирака" быть не может, но античастицы, тем не менее, есть.

Решение "проблемы отрицательно-частотных волн" в КТП, применимое и к фермионам и к бозонам, радикальное - в общем случае отказаться от интерпретации поля $\psi(x)$ как волновой функций одной частицы, и считать $\psi(x)$ оператором $\hat{\psi}(x)$: амплитуды $a_{\mathbf{k}}$ положительно-частотных составляющих заменяются операторами уничтожения $\hat{a}_{\mathbf{k}}$ частиц с импульсами $\mathbf{k}$ и с положительными энергиями $\omega_{\mathbf{k}},$ амплитуды $b^*_{\mathbf{k}}$ отрицательно-частотных составляющих заменяются операторами рождения $\hat{b}^{\dagger}_{\mathbf{k}}$ античастиц с импульсами $\mathbf{k}$ и тоже с положительными энергиями $\omega_{\mathbf{k}}.$ Т. е. главной идеей оказалась не картина "дырки в ферми-море", а некое, не очень-то очевидное, соответствие между отрицательными частотами в КТП и понятием "античастица". Вот цитата на этот счёт:
С. Вайнберг в томе 1 Квантовой теории полей писал(а):
<...> в результате развития квантовой теории поля интерпретация античастиц как дырок стала ненужной, несмотря на то, что до сих пор она, к сожалению,просачивается на страницы многих учебников. Процитируем Джулиана Швингера: «Картина бесконечного моря электронов с отрицательной энергией рассматривается сейчас в лучшем случае как исторический курьез и прочно забыта».

Вместо операторного формализма в КТП может применяться метод континуального интегрирования по полям, а также (может быть, менее известный) швингеровский "метод источников".

Последний удобен для быстрого пояснения понятия одночастичного пропагатора. (Попробую составить такое пояснение, сначала опять-таки на прежнем примере безмассовых спиноров; но не знаю, как быстро справлюсь). А пока советую Вам продолжать по книгам разбираться с формализмом полевых операторов. А также, в качестве опережающего упражнения к пояснениям о пропагаторах, подумайте, как решить уравнение для, например, левого спинорного безмассового поля $\psi_L(x)$ в присутствии спинорного же произвольного источника $J(x):$

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=J(x) \, .$

Заодно полезно убедиться, что $\partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)$ преобразуется как правый спинор, так что в указанном неоднородном уравнении надо считать $J(x)$ правым спинорным полем $J_R(x).$ В аналогичном неоднородном уравнении для правого спинорного поля

$i \partial _{\mu} \sigma^{\mu} \, \psi_R(x)=J(x) $

источник должен быть левым спинором $J_L(x);$ в этом уравнении матрицами $\sigma^{\mu}$ являются $\hat 1, \, \boldsymbol{\sigma}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение25.05.2017, 22:53 


28/08/13
238
Cos(x-pi/2) в сообщении #1217693 писал(а):
А также, в качестве опережающего упражнения к пояснениям о пропагаторах, подумайте, как решить уравнение для, например, левого спинорного безмассового поля $\psi_L(x)$ в присутствии спинорного же произвольного источника $J(x):$

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=J(x) \, .$

Формально - с помощью функции Грина. Саму функцию попробую сделать в ближайшее время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение26.05.2017, 00:27 
Заслуженный участник


29/09/14
610
Ascold
К упражнениям о преобразованиях Лоренца добавка: надо убедиться (не обязательно на форуме), что

. $\psi_L^+ \varphi_R$ и $\varphi_R^+ \psi_L$ - инварианты, если $\psi_L$ и $\varphi_R$ преобразуются как левый и правый 2-компонентные спиноры.

. Пусть $g$ означает антисимметричную вещественную матрицу: $g=i\sigma_y=\big[\begin{smallmatrix}\,0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\big] \, .$

Тогда $g\psi_L^*$ преобразуется как правый спинор. Пусть $u_{-}(\mathbf{k})$ обозначает спинор со спином против направления $\mathbf{k}.$ Тогда операция $(g...)^*$ превращает его в спинор $u_{+}(\mathbf{k})$ со спином вдоль $\mathbf{k}.$ Дело в том, что стандартные матрицы Паули $\sigma_x, \, \sigma_z$ не меняются при комплексном сопряжении и антикоммутируют с $g=i\sigma_y,$ а матрица $\sigma_y$ коммутирует с $g,$ но зато меняет знак при комплексном сопряжении. Поэтому протаскивание $g$ через $\boldsymbol{\sigma}^*$ действует как замена $\boldsymbol{\sigma}$ на $-\boldsymbol{\sigma},$ и поэтому и матрица лоренц-преобразования $L_L$ переходит в $L_R,$ и проектор $\text{П}_{-\mathbf{N}$ переходит в $\text{П}_{\mathbf{N}.$ Эти проекторы далее обозначаем как $\text{П}_{-\mathbf{k}$ и $\text{П}_{\mathbf{k}.$

. Нам потребуется преобразование Фурье (указанные ниже свойства следует проверить, запомнить выбор множителей, выбор знаков в показателях. Фурье-компоненту $\psi(k)=\psi(\omega, \mathbf{k})$ для любой функции $\psi(x)=\psi(t, \mathbf{r})$ (или для совокупности функций - компонент спинора) обозначаем ради краткости той же буквой, хотя это разные функции. Следует отличать $\omega$ от $\omega_{\mathbf{k}},$ и помнить, что интегрирование по частоте $\omega$ (а также по времени) ведётся от $-\infty$ до $\infty,$ хотя это не указывается явно).

Пусть (в краткой записи): $\psi(x)=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \psi(k)\, e^{-ikx} \, ,$ то есть в подробной записи:

$\psi(t, \mathbf{r})=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \int \frac{d \omega}{2\pi} \, \psi(\omega, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega t} \, .$

Тогда: $\psi(k)=\int d^4x \, \psi(x)\, e^{ikx} \, ,$ то есть:

$\psi(\omega, \mathbf{k})=\int d^3\mathbf{r} \int dt \, \psi(t, \mathbf{r}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega t} \, .$

Надо следить за положением знака комплексного сопряжения: $\psi^*(k)$ не обязано совпадать с $\psi(k)^*,$ так как $\psi^*(k)$ - фурье-амплитуда для $\psi(x)^*,$ а $\psi(k)^*$ - сопряжённая фурье-амплитуда для $\psi(x).$ Проверьте (в краткой и в подробной записи), что:

$\psi^*(k)^*=\psi(-k)\, .$

Переходим к знакомству с фейнмановским пропагатором вейлевского фермиона. План видится такой. Сначала убедимся, что с пропагатором связаны 1-частичные амплитуды перехода между источником и приёмником равноправно для частицы и для античастицы. Пример вейлевского фермиона хорош простотой: такой фермион хотя и обладает спином, но не обладает спиновой "степенью свободы" - спин левой частицы всегда направлен против её импульса, а её античастица - всегда правая, со спином вдоль импульса. В дальнейшем сравнение с этим примером поможет понять более сложный пример: дираковский фермион с массой; у него есть спиновая степень свободы - спин может иметь любое направление относительно импульса.

(дико много букв об источниках, об амплитудах перехода, о пропагаторе :))

Пусть заданы два спинорных поля: $J(x)$ и $K(x),$ оба правые в смысле закона преобразования при бустах. Слово "заданы" означает, что мы не считаем их решениями уравнений движения; они произвольные, и поэтому в фурье-разложении $J(x)$ и $K(x)$ по плоским волнам отличны от нуля амплитуды не только правых спиноров (в смысле со спином вдоль импульса) но и левых. Правые и левые базисные спиноры будем обозначать как $u_{+}(\mathbf{k})$ и $u_{-}(\mathbf{k}).$ Частота $\omega$ у плоских волн произвольно заданных полей принимает всевозможные положительные и отрицательные значения, а не только $\pm \omega_{\mathbf{k}}.$ Назовём $J(x)$ и $K(x)$ источниками; ниже выяснится, что тот источник, который включается во времени раньше, служит источником частиц, а который позже - приёмником.

Аналогия в классической механике: осциллятор в присутствии заданной внешней силы $F(t).$

Уравнение движения осциллятора $Q(t)$ есть $(d^2/dt^2+\omega_0^2)Q(t)=F(t).$ Пусть $F(t)$ действует (т. е. может быть не равна нулю) только на конечном интервале времени $(t_{\text{ нач}} <t<t_{\text{ кон}}),$ и пусть в её фурье-разложении есть составляющая с частотой свободных колебаний осциллятора $\omega_0,$ и пусть до начального момента времени $t_{\text{ нач}}$ осциллятор покоился. Тогда $F(t)$ служит источником колебаний осциллятора, т. е. источник передаёт осциллятору энергию: после выключения силы, при $t> t_{\text{ кон}},$ осциллятор будет совершать колебание с собственной частотой $\omega=\omega_0,$ амплитуда его пропорциональна фурье-амплитуде силы $F$ на этой частоте.

Если до включения $F(t)$ осциллятор уже совершал колебание, то сила $F(t)$ может его затормозить: после её выключения амплитуда колебаний станет меньше или даже осциллятор окажется покоящимся. В этих случаях источник является приёмником энергии от осциллятора.

Ещё вариант: если $F(t)$ состоит из двух неперекрывающихся во времени слагаемых, $F(t)=F_1(t)+F_2(t),$ и фурье-амплитуды слагаемых на собственной частоте осциллятора $\omega_0$ отличны от нуля, но в сумме взаимно уничтожаются, то осциллятор, покоящийся до включения первой части силы, останется покоящимся и после выключения последней части, а в промежутке времени между окончанием первой части и началом второй он будет совершать свободное колебание с частотой $\omega_0.$ Здесь происходит передача энергии от более раннего источника $F_1$ к позднему $F_2.$

Аналогичные задачи есть и в квантовой механике:

Покою классического осциллятора отвечает "основное состояние" квантового осциллятора" (а в КТП - "вакуум"). Если в классической задаче фурье-амплитуда источника на частоте $\omega_0$ мала, так что отдаваемая или получаемая им энергия колебаний мала по сравнению с $\hbar \omega_0,$ то в КМ это проявится как малость вероятности того, что источник изменит состояние осциллятора. Такой источник будем называть слабым.

В классической теории поля:

Вместо колебаний одного механического осциллятора $Q(t)$ рассматриваются "осцилляторы поля" - волны поля в пространстве-времени; поэтому вместо одной собственной частоты $\omega_0$ в задаче появляется множество собственных частот $\omega_{\mathbf{k}},$ "пронумерованных" волновым вектором $\mathbf{k}.$

В КТП:

Кванты энергии $\hbar \omega_{\mathbf{k}}$ и импульса $\hbar \mathbf{k}$ "осцилляторов поля" трактуются как частицы. Волны остаются только в роли инструмента для расчётов. Различные состояния "мира" описываются не картиной волн в нём, а количеством всевозможных частиц (и античастиц).

В задаче механики об осцилляторе мы можем не вникать в устройство источника силы $F(t).$ Аналогично и в КТП: источник $J(x)$ лишь феноменологически описывает совокупность физических условий, которые в данной области пространства-времени (где $J(x)$ может быть не равной нулю) обеспечивают возможность рождения или поглощения частиц. Поскольку функция $J(x)$ задана, то не учитывается влияние актов рождения и поглощения частиц на "состояние самого источника".



Спинорные источники $J(x)$ и $K(x)$ будем считать слабыми и действующими на конечных неперекрывающихся интервалах времени. Сначала рассмотрим случай, в котором пространственно-временная область с ненулевым $J(x)$ расположена раньше (т. е. в и/или на конусе прошлого) области, где задан ненулевой $K(x).$ Пусть квантовое состояние "мира" в нашей модельной задаче в далёком прошлом является вакуумным (ноль частиц), обозначим его как $|0\rangle.$ На любой пространственно-подобной поверхности в будущем после окончания действия слабого источника $J(x),$ но до того, как начнут действовать другие источники, состояние "мира" может остаться вакуумным (с вероятностью, близкой к $1),$ либо оно окажется 1-частичным (c вероятностью, малой в меру слабости источника), либо двух- и более частичным (этими вероятностями пренебрежём).

Амплитуды вероятностей это матричные элементы оператора эволюции. Интересуясь в первую очередь амплитудами перехода из $|0\rangle$ в то или иное 1-частичное состояние, возбуждённое источником $J(x),$ и учитывая, что 1-частичные состояния могут различаться импульсом частицы, обозначим эти амплитуды так: $\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J.$

Слабый источник $K(x),$ действующий после выключения $J(x),$ с вероятностью, близкой к $1,$ не изменит состояния "мира", либо с малой вероятностью добавит ещё одну частицу, либо поглотит имеющуюся. В последнем случае состояние в будущем опять становится вакуумным; амплитуду вероятности такого перехода обозначим как $\langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K.$ Амплитудами прочих переходов (т. е. многочастичных) пренебрежём.

С учётом всего этого 1-частичный вклад в амплитуду перехода $\langle 0|0 \rangle_{K,J}$ из начального вакуума в конечный вакуум при наличии источников $K$ и $J,$ указанным образом упорядоченных во времени, должен иметь вид суммы вкладов, отвечающих различным импульсам частицы:

$\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, .$

Связь этих амплитуд с функциями $J(x)$ и $K(x)$ можно предвидеть из соображений об однородности пространства и времени, варьируя положение источников. Сместим $J(x)$ на любое время $\tau$ в прошлое, т. е. заменим $J(t,\mathbf{r})$ на $J(t+\tau,\mathbf{r}).$ Тогда эволюция состояния, рождённого источником $J(t+\tau,\mathbf{r}),$ к прежней гиперповерхности будущего займёт добавочное время $\tau,$ и оно привнесёт в матричный элемент оператора эволюции добавочный фазовый множитель $e^{-iE\tau},$ где $E$ - энергия состояния. Для 1-частичного состояния: $E=\omega_{\mathbf{k}}.$ Аналогично, сдвиг источника $J(x)$ на любой вектор $\mathbf{a},$ т. е. замена аргумента $\mathbf{r}$ на $\mathbf{r-a},$ должна дать фазовый множитель $e^{-i\mathbf{P \cdot a}},$ где $\mathbf{P}$ - импульс состояния. Для 1-частичного состояния $\mathbf{P=k}.$ Именно такие фазовые множители выпускает фурье-амплитуда функции источника с аргументами $\omega_{\mathbf{k}}$ и $\mathbf{k}$, и, значит, амплитуда перехода $\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J$ связана с данной фурье-амплитудой:

$\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, \sim \, J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\int d^3\mathbf{r} \int dt \, J(t, \mathbf{r}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Матричные элементы оператора эволюции подчинены условию унитарности. Можно показать, что оно ведёт к определённому соотношению между амплитудами перехода с рождением и с поглощением частицы заданным слабым источником: $\langle 0| 1_{\mathbf{k}}\rangle_J=-(\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J)^*.$ Поглощать частицу у нас будет источник $K(x),$ так что:

$\langle 0| 1_{\mathbf{k}}\rangle_K \, \sim \, K(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})^* \, .$



Теперь найдём в общем виде спинорное поле $\psi(x),$ являющееся решением уравнением движения со спинорным источником $J(x):$

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi(x)=J(x) \, .$

Подставив сюда фурье-разложения по плоским волнам для $\psi(x)$ и $J(x),$ получим уравнение для спинорной фурье-амплитуды $\psi(k)$ (пишу в кратком виде, сделать выкладки в подробной записи - упражнение):

$k_{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi(k)=J(k) \, .$

Умножив обе стороны на $k_{\mu} {\sigma}^{\mu} = \omega - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma},$ и учитывая, что

$(\omega - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})=(\omega^2-|\mathbf{k}|^2)\hat 1=k^2 \hat 1 \, ,$

получим:

$\psi(k)=k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, \dfrac{1}{k^2} \, J(k) \, .$

Чтобы получить обратным фурье-преобразованием искомое поле $\psi(x),$ надо в интеграле по $\omega$ задать правило обхода полюсов $1/k^2=1/(\omega^2-|\mathbf{k}|^2).$ В КТП работает правило Фейнмана: к собственным частотам поля (у нас это $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|)$ добавляется бесконечно малая отрицательная мнимая часть $-i0.$ Изменённая так функция $1/k^2$ называется скалярным безмассовым фейнмановским пропагатором $D(k)$ в 4-импульсном представлении:

$D(k)=\dfrac{1}{k^2+i0}=\dfrac{1}{(\omega - \omega_{\mathbf{k}}+i0)(\omega + \omega_{\mathbf{k}}-i0)} \, .$

Матрицу $G(k)=k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, D(k)$ можно назвать спинорным пропагатором в 4-импульсном представлении; так что: $\psi(k)=G(k)J(k).$ В координатном представлении:

$\psi(x)=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \int \frac{d \omega}{2\pi} \, k_{\mu} {\sigma}^{\mu} D(k) J(k)  \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega t} \, .$



Вычислим это поле $\psi(t, \mathbf{r})$ после окончания работы источника $J$ т. е. при $t>t',$ где $t'$ - значения времени в области действия источника $J.$ Интегрирование по $\omega$ выполним контурным методом. Чтобы выбрать контур, заметим, что в интеграле

$J(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dt' \, J(t',\mathbf{k}) \, e^{i\omega t'}$

пределы можно заменить начальным и конечным значениями $t',$ между которыми действует $J,$ так как всюду вне этого интервала времени $J=0,$ и вклада в интеграл нет. Подставив эту формулу в интеграл по $\omega$ для $\psi(t, \mathbf{r}),$ увидим, что там имеется экспонента с показателем $-i\omega(t-t').$ Поскольку $t-t'>0,$ она убывает при устремлении $\omega$ к $-i \infty.$ Это означает, что путь интегрирования вдоль вещественных значений $\omega$ от $-\infty$ до $+\infty$ можно замкнуть полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости комплексной пременной $\omega,$ и такая полуокружность не даст вклада в результат. Результат есть $-2 \pi i \cdot \text{Вычет}$ в полюсе подынтегрального выражения при $\omega=\omega_{\mathbf{k}}-i0,$ попавшем внутрь этого замкнутого контура:

$\psi(x)|_{t>t'}=-i\int \frac{d^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, ( \omega_{\mathbf{k}}- \mathbf{k} \cdot  \boldsymbol{\sigma} ) \frac{1}{2\omega_{\mathbf{k}}} \, J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Заметим, что

$( \omega_{\mathbf{k}} - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \dfrac{1}{2 \omega_{\mathbf{k}}} = \dfrac{1}{2} \left ( 1-\dfrac{\mathbf{k}}{|\mathbf{k}|} \cdot \boldsymbol{\sigma} \right ) = \text{П}_{-\mathbf{k}}$

есть спинорный проектор, выделяющий из любого спинора левую составляющую. Таким образом:

$\psi(x)|_{t>t'}=-i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{-\mathbf{k}} \, J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Видно, что роль пропагатора $k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, D(k)$ свелась к "частотному и спинорному проецированию": для левого спинорного поля $\psi(x)|_{t>t'}$ этот пропагатор выделил из фурье-составляющих $J(k)$ источника $J(x)$ только левые и только положительно-частотные моды с частотами колебаний свободного поля $\omega_{\mathbf{k}}.$



Теперь вычислим результат взаимодействия этого левого спинорного поля с правым спинорным источником $K(x),$ который у нас работает позже, чем $J(x),$ и поэтому может выполнять роль приёмника частиц. В локальной теории поля взаимодействие полей описывается произведением полей в одной и той же точке $x$ пространства-времени (у нас это будет лоренц-инвариантная свёртка $K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}),$ и затем по $x$ выполняется интегрирование. Чтобы получить вклад в амплитуду перехода "вакуум-вакуум" со всеми необходимыми множителями, интеграл следует домножить на фазовый множитель $-i$ (это можно показать подробным рассмотрением понятия "вакуумная амплитуда" - отдельная очень большая тема однако :) Итак, вычисляем, меняя по ходу дела порядок интегрирований по $x$ и по $k_x,k_y,k_z:$

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}=-\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \,\int d^3\mathbf{r} \int dt \, K^+(t,\mathbf{r}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t} \,  \text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, .$

Видно, что здесь появляется фурье-амплитуда источника $K$ (значком Т обозначим транспонирование):

$\int d^3\mathbf{r} \int dt \, K^+(t,\mathbf{r}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i\omega_{\mathbf{k}} t}=(K^*(-\omega_{\mathbf{k}},-\mathbf{k}))^T=(K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^*)^T=K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^+ \, ,$

так что:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}=-\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^+\text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}, \mathbf{k}) \, .$

Это выражение должно представлять $\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J.$ Чтобы придать ему такую форму, будем считать теперь, что поля рассматриваются в произвольно большом, но конечном нормировочном объёме $V$ с условиями периодичности; при этом, как известно, волновой вектор дискретен, а переход от интегрирования к суммированию формально сводится к замене

$\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, ...$ на $\frac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}} \, ... \, .$

Базисные спиноры $u_{-}(\mathbf{k})$ и $u_{+}(\mathbf{k}),$ собственные с собственным значением $1$ соответственно для проекторов $\text{П}_{-\mathbf{k}$ и $\text{П}_{\mathbf{k},$ взаимно ортогональны: $u_{-}(\mathbf{k})^+u_{+}(\mathbf{k})=0.$ Но мы их ещё не нормировали. Учитывая, что энергия или частота $\omega_{\mathbf{k}},$ как и плотность $u^+u$, преобразуется подобно временной компоненте 4-вектора, выберем следующие сохраняющиеся при лоренц-преобразованиях условия нормировки:

$u_{-}(\mathbf{k})^+u_{-}(\mathbf{k})=2\omega_{\mathbf{k}} \, , \qquad u_{+}(\mathbf{k})^+u_{+}(\mathbf{k})=2\omega_{\mathbf{k}} \, .$

Числовые коэффициенты разложения по этим базисным спинорам обозначим так: для источника $J$ буквами $a,$ для $J^*$ буквами $b,$ для $K$ буквами $c,$ для $K^*$ буквами $d,$ причём выделим в каждом из них множитель $\sqrt{V/2\omega_{\mathbf{k}}}.$ Следуя этой схеме, запишем сначала разложение по базисным спинорам для $J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}):$

$J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}a_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}a_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, .$

Тогда (поскольку левый проектор вычёркивает слагаемое с правым спинором и не изменяет слагаемое с левым спинором):

$\text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}a_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k}) \, .$

Этот спинор теперь надо свернуть с

$K(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}c_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}c_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, .$

Учитывая ортогональность и нормировку базисных спиноров, получим:

$K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})^+\text{П}_{-\mathbf{k}} J(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}\, c_{-}(\mathbf{k})^* \, a_{-}(\mathbf{k}) \, 2\omega_{\mathbf{k}} \, .$

Это выражение входит под знак суммы $(-1/V)\sum_{\mathbf{k}}\, ... \,,$ так что окончательно можем записать одночастичный вклад в вакуумную амплитуду в виде:


$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t>t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, ic_{-}(\mathbf{k})^* \, ia_{-}(\mathbf{k})=\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J \, .$


Отсюда видны определения 1-частичных (но пока ещё не античастичных) амплитуд перехода через фурье-компоненты слабых спинорных источников:

$\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J=ia_{-}(\mathbf{k})=\dfrac{iu_{-}(\mathbf{k})^+J(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, ,$

$\langle 0|1_{\mathbf{k}}\rangle_K=-(\langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K)^*=ic_{-}(\mathbf{k})^*=\dfrac{i(u_{-}(\mathbf{k})^+K(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k}))^*}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, .$




Теперь повторим аналогичные вычисления, начав с той части решения $\psi(t, \mathbf{r}),$ которая "распространяется назад во времени" - в область пространства-времени, предшествующую началу работы источника $J(t', \mathbf{r}).$ При $t<t'$ найденное выше решение уравнения движения $\psi(t, \mathbf{r})$ определяется вычетом в полюсе пропагатора в верхней полуплоскости комплексной частоты и поэтому содержит отрицательно-частотные волны. Результат

$\psi(x)|_{t<t'}=i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{\mathbf{k}} \, J(-\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} $

можно переписать иначе, заменяя переменную интегрирования $\mathbf{k}$ на $-\mathbf{k}:$

$\psi(x)|_{t<t'}=i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{-\mathbf{k}} \, J(-\omega_{\mathbf{k}}, -\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} \, ,$

и учитывая равенство $J(-k)=J^*(k)^*:$

$\psi(x)|_{t<t'}=i\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, \text{П}_{-\mathbf{k}} \, J^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})^* \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i\omega_{\mathbf{k}} t} \, ,$

Тогда результат взаимодействия этого спинорного поля с источником $K(x),$ который на этот раз пусть работает раньше, чем $J(x)$ (т. е. это другой источник $K$ и его следовало бы обозначить другой буквой, но для сравнения с предыдущим рассмотрением оставим прежнее обозначение), есть:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \, (K^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}))^T\text{П}_{-\mathbf{k}} J^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})^* $

Вставим перед $\text{П}_{-\mathbf{k}}$ единичную матрицу $1=-gg,$ и учтём, что матрица $g$ вещественная и антисимметричная $(g^T=-g),$ и что $g\text{П}_{-\mathbf{k}}=\text{П}_{\mathbf{k}}^*g.$ Получаем:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \,  (gK^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}))^T (\text{П}_{\mathbf{k}} gJ^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k}))^* $

Разложим присутствующие здесь спиноры $gK^*$ и $gJ^*$ по базисным спинорам $u_{-}(\mathbf{k}})$ и $u_{+}(\mathbf{k}}):$

$gK^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}d_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}d_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

$gJ^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}b_{-}(\mathbf{k})u_{-}(\mathbf{k})+\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}b_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

$\text{П}_{\mathbf{k}} \, gJ^*(\omega_{\mathbf{k}}, \mathbf{k})=\sqrt{\frac{V}{2\omega_{\mathbf{k}}}}b_{+}(\mathbf{k})u_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

Заменив, как и выше, интегрирование $\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3}$ суммированием $\frac{1}{V}\sum_{\mathbf{k}},$ имеем:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, d_{+}(\mathbf{k}) \, b_{+}(\mathbf{k})^* \, .$

Этот результат интерпретируется как вклад в амплитуду перехода "вакуум-вакуум", в котором источник $K,$ действующий первым во времени, испускает правую античастицу, а источник $J,$ действующий позднее, её поглощает. Обозначив наличие одной античастицы чертой над единицей, это утверждение можно записать так:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}} \rangle_J \, \langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K \, .$

Равноправность частиц и античастиц выявляется, если определения 1-античастичных амплитуд перехода через фурье-компоненты слабых спинорных источников ввести по той же самой схеме, что и для амплитуд с частицами; при этом, как видно, способность источников $K(x)$ и $J(x)$ создавать и поглощать античастицу описывается фурье-компонентами комплексно сопряжённых величин, $gK(x)^*$ и $gJ(x)^*:$

$\langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K=id_{+}(\mathbf{k})=\dfrac{iu_{+}(\mathbf{k})^+gK^*(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k})}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, ,$

$\langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}}\rangle_J=-(\langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J)^*=ib_{+}(\mathbf{k})^*=\dfrac{i(u_{+}(\mathbf{k})^+gJ^*(\omega_{\mathbf{k}},\mathbf{k}))^*}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}} \, .$



Тут всплывает нюанс. Расчёт $-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}$ дал нам $\sum_{\mathbf{k}} \, d_{+}(\mathbf{k})\,b_{+}(\mathbf{k})^*.$ Если переписать это с множителями $i,$ в соответствии с указанным выше определением амплитуд, то возникает минус перед суммой:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=-\sum_{\mathbf{k}} \, id_{+}(\mathbf{k}) \, ib_{+}(\mathbf{k})^*,$

И очерёдность сомножителей под знаком суммы получилась обратной к ожидавшейся.

Всё это исправляется, если принять, что числовые амплитуды спиноров $K$ и $J$ это не обычные числа, а грассмановы, т.е. антикоммутирующие переменные. (Обоснование и обсуждение "как с этим жить" - отдельный сюжет. Антикоммутативность спинорных полей в "методе источников" ведёт в итоге к ферми-статистике спинорных частиц и античастиц, что и позволяет говорить о них как о фермионах. В методе вторичного квантования (метод полевых операторов) вместо грассмановых амплитуд вводятся, в случае фермионов, антикоммутирующие операторы рождения и уничтожения. Метод полевых операторов, наверное, проще для расчётов, чем метод источников; последний же, имхо, позволил нам нагляднее "въехать" в вакуумную амплитуду и пропагаторы).

Тогда:

$d_{+}(\mathbf{k}) \, b_{+}(\mathbf{k})^*=- b_{+}(\mathbf{k})^*\, d_{+}(\mathbf{k}) \, ,$

и тогда для одно-античастичного вклада в "амплитуду перехода вакуум-вакуум в присутствии источников" получается понятная на вид формула - совершенно аналогичная одночастичному вкладу:

$-i\int d^4x\, K^+(x)\psi(x)|_{t<t'}=\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}}\rangle_J \, \langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K \, .$




Резюмируя, полезно отметить, что решение $\psi(x)$ уравнения движения с источником $J(x)$ можно записать в кратком виде:

$\psi(x)=\int d^4x' \, G(x-x')J(x') \, ,$

где

$G(x-x')=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \, G(k) \, e^{-ik(x-x')}$

есть фейнмановский спинорный безмассовый пропагатор $G(k)=k_{\mu} {\sigma}^{\mu} \, D(k)$ в координатном представлении.

Тогда рассмотренный выше вклад $-i\int d^4x \, K^+\psi(x)$ в амплитуду перехода "вакууум-вакуум" $\langle 0| 0 \rangle_{K,J},$ возникающий за счёт распространения частицы или античастицы между источниками $K,\,J,$ принимает вид:


$-i\int d^4x \int d^4 x' \, K^+(x)G(x-x')J(x') \, .$


Если $K$ действует позже, чем $J,$ это выражение описывает распространение частицы от $J$ к $K$ и сводится к $\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|1_{\mathbf{k}} \rangle_K \, \langle 1_{\mathbf{k}}|0 \rangle_J.$

Если $K$ действует раньше, чем $J,$ это выражение описывает распространение античастицы от $K$ к $J$ и сводится к $\sum_{\mathbf{k}} \, \langle 0|\bar{1}_{\mathbf{k}}\rangle_J \, \langle \bar{1}_{\mathbf{k}}|0 \rangle_K.$

Если $J$ и $K$ разделены пространственно-подобным интервалом, то понятия "раньше, позже" для них теряют лоренц-инвариантный смысл, и рассматриваемое выражение не сводится к амплитудам перехода реальной (т. е. с энергией $\omega=\omega_{\mathbf{k}}$) частицы или античастицы. В этом случае можно сказать, что пропагатор $G(x-x')$ описывает распространение виртуальной частицы или античастицы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group