2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гладкость карт в многообразиях с краем
Сообщение17.05.2017, 12:09 


16/01/14
73
Здравствуйте. Прошу помочь разобраться, эквивалентны ли следующие утверждения.

Пусть $\mathbb R ^n_ + := \{x \in \mathbb R ^n : x_1 \geq 0\}$, $U, V $ - открытые подмножества $\mathbb R^n_+$ (в индуц. топологии) или $\mathbb R ^n$. Пусть $\varphi : U \rightarrow V$ - гомеоморфизм.

Эквивалентность таких утверждений:
1) Существуют окрестности $\mathcal O (V)$ и $\mathcal O (U)$ множеств $U$ и $V$ в топологии $\mathbb R ^n$ и диффеоморфизм $\eta : \mathcal O (V)\rightarrow\mathcal O (U)$ такой, что $\eta|_{U} = \varphi$;
2) Отображения $\varphi$ и $\varphi^{-1}$ являются гладкими в том смысле, что существует гладкое продолжение отображения $\varphi$ на некоторую окрестность множества $U$, и существует гладкое продолжение отображения $\varphi^{-1}$ на некоторую окрестность множества $V$$\mathbb R ^n$).

У меня получается это доказать только в следующих предположениях:
a) Множества $U$ и $V$ связны;
б) Любые две точки связного открытого множества можно соединить гладким путем с невырожденной производной (не знаю, верно ли последнее, я могу только доказать, что существует просто гладкий путь).

Очевидно, что из 1) следует 2). Доказываю 1) в предположениях а) и б). Пусть $\eta_1 : \mathcal O (U) \rightarrow \eta_1(\mathcal O (U))$ и $\eta_2 : \mathcal O (V) \rightarrow \eta_2(\mathcal O (V))$ - гладкие продолжения. В любой точке из $U$ и $V$ они имеют невырожденные производные, а потому окрестности $\mathcal O (U)$ и $ \mathcal O (V) $ можно уменьшить, если нужно, так, чтобы всюду у этих отображений были невырожденные производные. Их также можно уменьшить до связных окрестностей, поскольку $U$ и $V$ связны. Покажем, что отображение $\eta_1$ инъективно. Пусть $p$ и $q$ есть какие-либо две различные точки из $\mathcal O (U)$. По предположению б) найдется гладкий путь $\gamma : [0,1] \rightarrow \mathcal O(U)$ с невырожденной производной, соединяющий точки $p = \gamma(0)$ и $q = \gamma(1)$. Пусть $a \notin \mathcal O(U)$. Рассмотрим отображение $\|\eta_1(\gamma(\cdot))-a\|_2 : [0,1] \rightarrow \mathbb R$, где $\|\cdot\|_2$ - евклидова норма. Раз это отображение совпадает на концах отрезка, то найдется точка $\xi \in (0,1)$, в которой производная равна нулю (теорема Ролля). Его дифференциал есть
$d_\xi(\|\eta_1(\gamma(\cdot))-a\|_2) = d_{\eta_1(\gamma(\xi)) - a}\|\cdot\|_2 \circ d_{\gamma(\xi)}\eta_1 \circ d_{\xi} \gamma = 0 $. Поскольку $d_{\eta_1(\gamma(\xi)) - a}\|\cdot\|_2 \neq 0$ и $d_{\xi} \gamma \neq 0$, то $d_{\gamma(\xi)}\eta_1 = 0$, чего быть не может, поскольку производная у $\eta$ везде невырожденная. Значит, $\eta_1$ -- биективный локальный диффеоморфизм, а потому глобальный диффеоморфизм.

Вряд ли такую идею можно обобщить на несколько компонент связности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкость карт в многообразиях с краем
Сообщение17.05.2017, 15:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Grabovskiy в сообщении #1216916 писал(а):
у $d_{\eta_1(\gamma(\xi)) - a}\|\cdot\|_2 \neq 0$ и

Это верно. Однако, это - дифференциал отображения "из двумерного в одномерное", и у него есть нетривиальное ядро.
Так что композиция может спокойно обнулиться.
Вообще, из неинъективности (в двумерное) отображения не следует вырожденность дифференциала: стандартный пример $t \mapsto (\cos t,\sin t)$.
Вообще, Вашу конструкцию можно поправить, примерно, так:
1.Показываем, что точки края переходят обязательно в точки края. Обозначим через $\varphi_0$ сужение $\varphi$ на край. Тогда $\varphi_0$ -диффео.
2. Возьмем фиксированный отрезок на краю. В каждой его точке применяем теорему о неявной (обратной). Из полученных окрестностей выбираем конечное покрытие отрезка. Обозначим объединение окрестностей этого покрытия $u$
3. Пусть $\varphi_1(x_1,...,x_n) = (x_1,\varphi_0(0,x_2,...,x_n))$. Тогда $\varphi_1$ также диффео, совпадающий с $\varphi$ на краю.
4. Пусть $\psi =\varphi_1^{-1}\circ\varphi$ . Тогда $\psi =id$ на краю. Сужая, если надо, область $u$, оценим сверху норму разности $d\psi -id$ малым числом $m<\frac{1}{2}$
4. Глобальную инъективность получим из : если $\varphi (a) = \varphi (b)$, то $\psi (a) = \psi (b)$, $ \left\lVert a-b\right\rVert \leqslant \left\lVert d(\psi -id)\right\rVert\cdot \left\lVert a-b \right\rVert$...
5. Делаем так для прочих отрезков...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкость карт в многообразиях с краем
Сообщение18.05.2017, 19:47 


16/01/14
73
DeBill, большое спасибо за Ваш ответ! Но я никак не могу до конца использовать Вашу идею.

Насколько я понял, под $\varphi$ Вы уже понимаете гладкое продолжение с невырожденными производными, и доказываете его инъективность. Отображение $\psi$ играет роль "критериального" отображения, т.е. если ломается инъективность у $\varphi$, то ломается и у $\psi$.

Но:

DeBill в сообщении #1216954 писал(а):
4. Глобальную инъективность получим из : если $\varphi (a) = \varphi (b)$, то $\psi (a) = \psi (b)$, $ \left\lVert a-b\right\rVert \leqslant \left\lVert d(\psi -id)\right\rVert\cdot \left\lVert a-b \right\rVert$...


Как я понял, в этом неравенстве Вы подставляете $a$ и $b$ из края (так как $\psi$ тождественно на краю, а слева в неравенстве использовано тождественное отображение), а тогда доказываете инъективность на краю. Я так понял, что для $\psi$ Вы получаете липшицевость (с константой $1/2$), но тогда липшицевость будет локальной и доказать глобальную инъективность не получится (которая бы включала точки, близкие к краю).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гладкость карт в многообразиях с краем
Сообщение18.05.2017, 20:25 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Grabovskiy в сообщении #1217188 писал(а):
Отображение $\psi$ играет роль "критериального" отображения, т.е. если ломается инъективность у $\varphi$, то ломается и у $\psi$.

Ага. При этом пси лучше фи, потому что близко к тождественному.
Grabovskiy в сообщении #1217188 писал(а):
в этом неравенстве Вы подставляете $a$ и $b$ из края

Не: на краю и так есть инъективность.
Имеем: $\psi =id + \Delta \psi$. Если $\psi(a) = \psi (b)$, то $a-b = \Delta \psi (b) - \Delta \psi (a)$, откуда и оценка в тексте.
Grabovskiy в сообщении #1217188 писал(а):
тогда липшицевость будет локальной и доказать глобальную инъективность не получится.

Да, это верно. Но "полуглобальная" - в окрестности отрезка - получается. И - там еще был пятый пункт....А там надо, чтобы таки глобальная инъективность получилась - опять возиться. А других инструментов проверки я предложить не могу (хотя: есть еще методы , основанные на "степени отображения")
Тогда - чтоб не мучиться с п.5, сразу будем , в окрестности каждой граничной точки, которую дает т. о неяной (п.2) строить меньшую окрестность (с тем же центром), в которой есть $\frac{1}{2}$-липшецевость для невязки $\Delta \psi$.
Вот только конечное подпокрытие из них мы не изготовим: нет компактности пересечения области с краем. Ну и не надо: возьмем просто их объединение.
Ох, оно может оказаться невыпуклым, и мы не сумеем соединить точки $a,b$ отрезком - а это надо в нашей оценке. Ладно, будем уменьшать полученную область так, чтобы любые точки $a,b$ из нее можно было соединить кривой (лежащей в области) длины, меньшей $2\cdot\left\lVert a-b \right\rVert$. Вроде, это можно сделать. Но как то все коряво это....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group