Вопрос по линейной алгебре

[damir_777]

Здравствуйте.
Предположим дана система из 3 уравнений с 3 неизвестными в матричной форме и ее решение, причем здесь неважно, является ли данное решение конечным ответом или это решение на определенном этапе решения системы:

$$ \begin{bmatrix} 4 & ? & 8 \\ 8 & ? & 6 \\ 9 & ? & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 2 \\ 13 \end{bmatrix} $$

Меня интересует можно ли по этим данным восстановить коэффициенты вектора, обозначенные знаком вопроса? Все цифры я здесь взял случайным образом, т.к. суть вопроса именно в коэффициентах, а не в правильности цифр и текущего решения. Если удобно, можете рассматривать матрицу как обратную

[Mikhail_K]

Если я правильно понял Вас, то обозначьте неизвестные коэффициенты (помеченные знаком вопроса) через $y_1$, $y_2$, $y_3$, затем произведите умножение матрицы на вектор и посмотрите, можно ли эти коэффициенты однозначно найти.

Но сразу скажу, что я мог и неправильно понять вопрос, потому что сформулировали Вы его очень непонятным образом. Например, я правильно понимаю, что $x_1,x_2,x_3$ известны так же, как и известные элементы матрицы и правая часть?
А вот фразу

damir_777 в сообщении #1216945 писал(а):

причем здесь неважно, является ли данное решение конечным ответом или это решение на определенном этапе решения системы

я так и не понял, как ни пытался.

[damir_777]

Я имел ввиду очередную итерацию при решении системы методом Гаусса, т.е на каждом этапе получаются свои значения неизвестных.
Скажите, а если бы неизвестных векторов было бы больше, т.е к примеру при системе из m уравнений и n переменных к примеру k векторов неизвестны Т.е это таким же образом решается?

[svv]

damir_777 в сообщении #1216956 писал(а):

Т.е это таким же образом решается?

Я бы сказал, это таким же образом не решается. Ведь $x_1, x_2, x_3$ неизвестны. Вместо знаков вопроса подставьте любые значения, лишь бы матрица была невырождена, и система будет иметь решение относительно иксов.

[mihaild]

damir_777 в сообщении #1216956 писал(а):

Я имел ввиду очередную итерацию при решении системы методом Гаусса, т.е на каждом этапе получаются свои значения неизвестных.

Метод Гаусса не является итерационным, там нет "значений неизвестных на этапе".

Что у вас всё-таки известно, а что нет? Если $x_i$ известны, а неизвестны некоторые из элементов матрицы - то получается линейная система на неизвестные элементы.

[Mikhail_K]

svv в сообщении #1216957 писал(а):

Ведь $x_1, x_2, x_3$ неизвестны.

Я так понял, что они известны, хотя это и сказано очень неясно.

damir_777 в сообщении #1216956 писал(а):

Скажите, а если бы неизвестных векторов было бы больше, т.е к примеру при системе из m уравнений и n переменных к примеру k векторов неизвестны Т.е это таким же образом решается?

Есть только два варианта. Либо 1) я правильно понял Ваш вопрос, а Вы правильно поняли мой ответ. Тогда такого вопроса у Вас возникать не должно, решается ли это "таким же образом". (Разве что, опять неясно, что значит "$k$ векторов неизвестны". В смысле, неизвестны $k$ столбцов матрицы? В любом случае, действуя по моим указаниям, Вы можете определить, достаточно ли данных для нахождения этих неизвестных или недостаточно.) Либо 2) Вы не поняли мой ответ (а может быть, и я не понял вопрос). Тогда Вам не стоит переходить к "общему случаю", пока не разобрались как следует в частном. Приведите конкретный пример постановки задачи и как Вы будете её решать.

damir_777 в сообщении #1216956 писал(а):

Я имел ввиду очередную итерацию при решении системы методом Гаусса, т.е на каждом этапе получаются свои значения неизвестных.

В первый раз слышу об этом. Речь действительно о методе Гаусса, а не о каком-то другом? Приведите ссылку, где Вы такое прочитали.

[svv]

damir_777 в сообщении #1216945 писал(а):

дана система из 3 уравнений с 3 неизвестными

Mikhail_K, тогда автору вместо этого надо было написать: «но неизвестные на самом деле (уже) известны».

damir_777, разрешите, наконец, наши сомнения. Известны «иксы» или нет?

[arseniiv]

Видимо, известен ответ, а матрица сфотографирована так плохо, что переписать её верно, не решив всё в обратную сторону, не получится. Но действительно неясно, чего же ТС тогда ждёт: вот она система, берём и смотрим, есть ли у неё решения и сколько. А что записана эта система так необычно — ну… бывает и хуже.