Вопрос по обозначениям

[student1138]

Здравствуйте.

Если я правильно понимаю, кольцо многочленов над кольцом $ \mathbb{Z}(\sqrt{3})$ обозначают как $ \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$. Но почему так, если кольцо многочленов над кольцом $A$ обозначают как $A[X]$. Следуя этой логике, обозначение должно было бы быть таким: $\mathbb{Z}(\sqrt{3})[X]$. Это просто так принято или есть какая-то в этом логика?

[vpb]

Кольцо чисел вида $a+b\sqrt3$, где $a$ и $b$ --- целые, обозначается ${\mathbb Z}[\sqrt3]$, а не ${\mathbb Z}(\sqrt3)$. А кольцо многочленов от переменной $X$ над ним --- ${\mathbb Z}[\sqrt3][X]$. А лучше так: "пусть $R$ есть кольцо многочленов $R=A[X]$, где $A={\mathbb Z}[\sqrt3]$".

[student1138]

В учебнике расширение полей обозначают именно с круглыми скобками. Например $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Как я понимаю $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ - это расширение кольца $\mathbb{Z}$, по аналогии с расширением поля $\mathbb{Q}$. Почему тогда оно обозначается квадратными скобками? Или это просто два равнозначных способа обозначения? Тогда можно писать $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$?

[Munin]

Потому что "расширение кольца" и "расширение поля" - разные вещи.

[student1138]

Хорошо, буду иметь ввиду. Зато по итогам этого треда я понял почему кольцо многочленов обозначается именно $A[X]$ (так же как расширение кольца) - потому что это и есть расширение кольца $A$, с присоединением элемента $X$! И выходит что любое расширение поля или кольца, когда добавляется один новый элемент будет являться многочленом, верно?

[alcoholist]

student1138 в сообщении #1216950 писал(а):

любое расширение поля или кольца, когда добавляется один новый элемент будет являться многочленом

вот добавили к $\mathbb{Z}$ элемент $\sqrt{3}$... какие многочлены будут?

-- Ср май 17, 2017 15:17:41 --

и, кстати, расширение не может являться многочленом

[student1138]

alcoholist в сообщении #1216955 писал(а):

student1138 в сообщении #1216950 писал(а):

любое расширение поля или кольца, когда добавляется один новый элемент будет являться многочленом

вот добавили к $\mathbb{Z}$ элемент $\sqrt{3}$... какие многочлены будут?

-- Ср май 17, 2017 15:17:41 --

и, кстати, расширение не может являться многочленом

Обозначим новый элемент как $x$. Элементы нового кольца - это всевозможные сочетания элементов старого кольца и элемента $x$. Любое сочетание после раскрытия скобок и приведения подобных членов будет иметь вид $z_0 + z_1x + z_2x^2+z_3x^3 + ... + z_nx^n$, где $n$ конечное. Множество всех возможных таких сочетаний образует кольцо. Вот, получается расширение кольца является кольцом многочленов (действительно тут я неточно выразился).

В случае $x = \sqrt{3}$ каждая четная степень $x$ будет принадлежать $\mathbb{Z}$ а каждая нечетная будет иметь форму $z\sqrt{3}$. Но вроде бы это не противоречит предыдущему рассуждению. Получается $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ можно считать кольцом многочленов над $\mathbb{Z}$ где в качестве переменной берется элемент $\sqrt{3}$

[mihaild]

student1138 в сообщении #1216965 писал(а):

Получается $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ можно считать кольцом многочленов над $\mathbb{Z}$ где в качестве переменной берется элемент $\sqrt{3}$

Кольцо многочленов над $\mathbb{Z}$ единственно (с точностью до изоморфизма), и оно неизоморфно $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$.
Кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ изоморфно факторкольцу $\mathbb{Z}[X] / \langle x^2 - 3\rangle$.

[student1138]

Цитата:

Кольцо многочленов над $\mathbb{Z}$ единственно (с точностью до изоморфизма), и оно неизоморфно $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$.

А при каком условии расширение кольца $A$ будет изоморфно кольцу многочленов над $A$? Если все степени нового элемента $X$ отличаются и ни одна из них, кроме нулевой, не принадлежит $A$?

[mihaild]

student1138 в сообщении #1216969 писал(а):

все степени нового элемента $X$ отличаются и ни одна из них, кроме нулевой, не принадлежит $A$

Этого недостаточно, контрпример: $\mathbb{Z}[\sqrt{3} - \sqrt{2}]$. Нужно как минимум чтобы расширение порождалось одним элементом, который не был бы корнем многочлена с коэффициентами из $A$ (и кажется что этого и достаточно).