Достаточное условие сходимости к нулю функции

[Arastas]

Добрый день!

Подскажите, пожалуйста, по такому вопросу. Пусть $f(x)$ -- ограниченная скалярная функция скалярного аргумента $x\ge 0$, причем $f(x)\ge 0$. Пусть известно, что $\int_0^\infty {f(x)dx}=C$, то есть интеграл ограничен и сходится к некоторой константе. В каком случае можно утверждать, что $\lim_{x\to\infty}{f(x)}=0$? Известно, что достаточным условием является равномерная непрерывность $f(x)$, но это условие явно не необходимое. Нет ли каких-то других, более мягких, условий, допускающих разрывность функции $f(x)$?

[mihaild]

Непрерывности недостаточно, ограниченности вариации достаточно. Какие там еще бывают интересные семейства?

[Arastas]

mihaild в сообщении #1215853 писал(а):

Непрерывности недостаточно

Про равномерную непрерывность я знаю, что эта равномерность используется при построении доказательства. А про недостаточность простой непрерывности, -- Вы не могли бы подсказать какой-нибудь пример? Мне с ходу ничего в голову не приходит.

mihaild в сообщении #1215853 писал(а):

ограниченности вариации достаточно

Я очень надеюсь, что есть какое-то достаточное условие для функций с разрывами типа "скачок".

[svv]

Arastas в сообщении #1215864 писал(а):

про недостаточность простой непрерывности

[Arastas]

svv, спасибо, очевидно же. Я аналогичный пример с прямоугольниками смотрел, но чуть не докрутил.

[Arastas]

mihaild
Я вчера ночью совершенно не сообразил, что функции со скачками вполне себе могут быть функциями с ограниченной вариацией. А это какой-то известный результат, что ограниченности вариации достаточно? Где можно посмотреть?

[mihaild]

Arastas, не знаю, известный ли, но очевидный. Если функция не стремится к $0$, то она в точках возрастающей и стремящейся к бесконечности последовательности $x_n$ больше $\varepsilon$. Т.к. интеграл сходится, то она в точках возрастающей и стремящейся к бесконечности последовательности $y_n$ меньше $\frac{\varepsilon}{2}$. Проредим последовательности так, чтобы $x_1 < y_1 < x_2 < y_2 \ldots$, и считаем $\sum_k |f(x_k) - f(y_k)|$ - она бесконечна, так что вариация не ограниченна.

[popolznev]

Arastas в сообщении #1215848 писал(а):

Нет ли каких-то других, более мягких, условий, допускающих разрывность функции $f(x)$?

А вот монотонность, например. Дёшево и сердито.

[grizzly]

popolznev в сообщении #1216212 писал(а):

А вот монотонность, например. Дёшево и сердито.

Слишком дёшево здесь -- частный случай ограниченной вариации.

[DeBill]

Ну, не так уж и дешево: функция ограниченной вариации есть разность двух монотонных ограниченных...

[Padawan]

Upd тут было неверное утверждение

[popolznev]

grizzly в сообщении #1216220 писал(а):

popolznev в сообщении #1216212 писал(а):

А вот монотонность, например. Дёшево и сердито.

Слишком дёшево здесь -- частный случай ограниченной вариации.

Если искать как можно менее ограничительные условия, то, разумеется, слишком дёшево. Но уж больно просто формулируется, и для многих конкретных случаев сгодится.

[Padawan]

DeBill в сообщении #1216223 писал(а):

Ну, не так уж и дешево: функция ограниченной вариации есть разность двух монотонных ограниченных...

Но интеграл от каждой из них по отдельности может оказаться расходящимся.

[Arastas]

popolznev, Padawan
С монотонностью понятно: так как интеграл ограничен, то мы рассматриваем только монотонно убывающие функции. Так как $f(x)$ ограничена снизу, то существует предел, и так как интеграл ограничен, то предел равен нулю. Вроде так. Но, как сказал grizzly, здесь это будет частный случай функции с ограниченной вариацией.

mihaild
Я на выходных покрутил это условие. Думал, вдруг оно не только достаточное, но и необходиое, т.е. если при заданных условиях $f(x) \to 0$, то и вариация на $[0,\infty)$ ограничена. Но нет, так не получается, например

$$f(x):=\frac{1+\sin(e^t)}{1+t^2}.$$

Условие ограниченной вариации кажется удобным, так как позволяет работать с разрывными функциям. Но у меня пока не очень получается понять, а как показать, что у функции ограниченная вариация на $[0,\infty)$, не требуя при этом чего-то более строгого. Вообще, я могу безболезненно предположить, что на любом конечном отрезке $[a,b]$ функция $f(x)$ имеет конечное число скачков и является функцией ограниченной вариации, если это как-то поможет. Сейчас думаю, получится ли что-то вытащить, если предположить, что $f(x)$ на интервалах между скачками имеет ограниченную производную.

[Arastas]

Хотя нет, с производной, похоже, не получится. Если в примере svv заменить треугольники на прямоугольники той же площади, то интеграл ограничен, производная почти везде ноль, а к нулю не сходится.