Определитель четвертого порядка

[NNDeaz]

Здравствуйте, в книге Кострикина в одной из вводных глав показывается правило знаков для выписывания произведений, входящих в разложение определителя третьего порядка (можно вспомнить по одной диагонали и двум треугольникам, симметричным относительно ее).
А затем в качестве упражнения дается найти аналогичное правило для определителя 4-го порядка. (с.33)
Единственный способ, который мне пришел, это посмотреть на компьютере знаки всех произведений и составить аналогичную схему, но он не особо помог: какую-то закономерность пока увидеть не удалось.
Как можно решить эту задачу? С учетом того, что кроме определения определителя по индукции ничего нет.
Спасибо.

[gris]

Может быть имеется в виду Правило Параллельных Полосок (метод Саррюса?).
Матрицу третьего порядка можно расширить справа двумя первыми столбцами и вместо треугольников рисовать диагональные полоски слева направо для плюса и справа налево для минуса. Аналогично как-то делают и для матриц четвёртого порядка, только там приставляют три столбца и в разных порядках. Вроде бы вместо этих фигур Лиссажу получается удобнее.
А вообще определитель любого порядка представим в виде суммы произведений ясно каких. А знак определяется по чётности подстановки.

[NNDeaz]

Недавно решил перечитать учебник Кострикина по алгебре, чтобы закрепить материал.

При первом прочтении все-таки я забросил это упражнение, приведу его снова


Мне кажется, метод Саррюса здесь не имеется ввиду, зачем тогда приводится правило для вычисления определителя третьего порядка и указывается именно привести аналогичное правило для четвертого порядка?

В одной из лекций А.В. Савватеева мимолетом упоминалось следующее:

Цитата:

На основе группы $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \cong \left\lbrace e,(12)(34),(14)(23),(13)(24) \right\rbrace $ строится несколько картинок, разбивающих 24 члена определителя на 6 групп по 4

Как это понять? На основе какой группы тогда строится правило для вычисления определителя третьего порядка?

Это упражнение является первым в этом учебнике и очень хотелось бы понять что Алексей Иванович имел ввиду.

[SomePupil]

NNDeaz в сообщении #1327840 писал(а):

Как это понять?

Каждому слагаемому определителя соответствует своя подстановка из $S_4.$ Телепатические навыки, развитые мной на этом форуме, подсказывают, что подразумевается разложение $S_4$ на смежные классы по упомянутой вами подгруппе (подгруппа эта, кстати, называется четверной группой Клейна) Тогда каждому смежному классу будет соответствовать конкретная совокупность членов определителя.

Я не знаю, зачем это нужно. Но это, по крайней мере, не вредно.

-- 20.07.2018, 18:16 --

И да, я подозреваю, что $\mathbb Z \times \mathbb Z$ тут ни причем.

[NNDeaz]

SomePupil в сообщении #1327915 писал(а):

И да, я подозреваю, что $\mathbb Z \times \mathbb Z$ тут ни причем.

Упс, естественно, здесь подразумевалось $ \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 $.

Как по мне, довольно непростое упражнение (еще и самое первое в книге) и я думал все-таки есть какой-то простой подход.

[Munin]

Картинки Савватеева:
https://www.youtube.com/watch?v=shW_yVZiJKQ&t=50m15s
Лекция "Избранные вопросы неевклидовой геометрии", лекция №7. Момент времени 50 минут 15 секунд.

[NNDeaz]

Munin,
Спасибо! Эти лекции как раз не видел.

[Munin]

Вот что там нарисовал на доске Савватеев:

$$+\left|\,\raisebox{\depth/2}{\[\xymatrix@!0@*-{\circ\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\\\circ\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\\\circ\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\\\circ&\circ&\circ&\circ}\]}\,\right| +\left|\,\raisebox{\depth/2}{\[\xymatrix@!0@*-{\circ&\circ\ar@{-}[ddl]\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\ar@{-}[ddr]&\circ\\\circ\ar@{-}[ddr]\ar@{-}[drr]&\circ\ar@{-}[drr]&\circ\ar@{-}[dll]&\circ\ar@{-}[ddl]\ar@{-}[dll]\\\circ&\circ\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]&\circ\\\circ&\circ&\circ&\circ}\]}\,\right| +\left|\,\raisebox{\depth/2}{\[\xymatrix@!0@*-{\circ&\circ\ar@{-}[ddr]\ar@{-}[drr]&\circ\ar@{-}[ddl]\ar@{-}[dll]&\circ\\\circ\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\ar@{-}[ddr]&\circ\ar@{-}[ddl]\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\\\circ\ar@{-}[drr]&\circ&\circ&\circ\ar@{-}[dll]\\\circ&\circ&\circ&\circ}\]}\,\right|$$

$$-\left|\,\raisebox{\depth/2}{\[\xymatrix@!0@*-{\circ&\circ\ar@{-}[dl]\ar@{-}[ddr]&\circ\ar@{-}[ddl]\ar@{-}[dr]&\circ\\\circ\ar@{-}[drr]&\circ\ar@{-}[ddr]\ar@{-}[drr]&\circ\ar@{-}[ddl]\ar@{-}[dll]&\circ\ar@{-}[dll]\\\circ\ar@{-}[dr]&\circ&\circ&\circ\ar@{-}[dl]\\\circ&\circ&\circ&\circ}\]}\,\right| -\left|\,\raisebox{\depth/2}{\[\xymatrix@!0@*-{\circ\ar@{-}[dddr]\ar@{-}[drrr]&\circ\ar@{-}[dddl]\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dddr]&\circ\ar@{-}[dddl]\ar@{-}[dlll]\\\circ\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]&\circ\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]\\\circ\ar@{-}[drrr]&\circ\ar@{-}[dr]&\circ\ar@{-}[dl]&\circ\ar@{-}[dlll]\\\circ&\circ&\circ&\circ}\]}\,\right| -\left|\,\raisebox{\depth/2}{\[\xymatrix@!0@*-{\circ\ar@{-}[ddr]\ar@{-}[drr]&\circ\ar@{-}[ddl]\ar@{-}[drr]&\circ\ar@{-}[ddr]\ar@{-}[dll]&\circ\ar@{-}[ddl]\ar@{-}[dll]\\\circ\ar@{-}[ddr]&\circ\ar@{-}[ddl]&\circ\ar@{-}[ddr]&\circ\ar@{-}[ddl]\\\circ\ar@{-}[drr]&\circ\ar@{-}[drr]&\circ\ar@{-}[dll]&\circ\ar@{-}[dll]\\\circ&\circ&\circ&\circ}\]}\,\right|$$

(там, где к элементу не проведено никакой линии, он участвует в том произведении, в котором его "не хватает" для перестановки - это пояснение ко 2, 3 и 4 квадратам).