2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение08.05.2017, 14:03 


12/10/11
56
svv, спасибо, интересный подход.
Позвольте уточнить, почему у вас получилось $\dot{S} = S \times B$, а не $\dot{S} = B \times S$?

Попробую воспроизвести выкладку, но учитывая расположение индексов.
$$
\frac{d}{dt} \tilde{\mathbf{e}}_p = \tilde{\mathbf{\omega}} \times \tilde{\mathbf{e}}_p = \tilde{\omega}^m \tilde{\mathbf{e}}_m \times \tilde{\mathbf{e}}_p = \tilde{\omega}^m \varepsilon^k_{mp} \tilde{\mathbf{e}}_k = \tilde{\omega}^m \tilde{\varepsilon}^k_{mp} S^j_k \mathbf{e}_j
$$
$$
\tilde{\omega}^m \tilde{\varepsilon}^k_{mp} = B^k_p 
$$
$$
\frac{d}{dt} \tilde{\mathbf{e}}_p = \left( \frac{d}{dt} S_p^j \right) \mathbf{e}_j =  B^k_p S^j_k \mathbf{e}_j
$$
$$
\frac{d}{dt} S_p^j = B^k_p S^j_k \quad \implies \quad \dot{S} = B \times S
$$

P.S. Интересно попробовать использовать условие $\mathbf{J} = \mathbb{S} \mathbf{j}$ для упрощения системы ДУ, а не просто проверять его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение08.05.2017, 16:34 


12/10/11
56
P.P.S. Тьфу ты, дико знакомое итоговое соотношение, а вот вывод смутил. Можно по-другому =)
$$
\mathbb{E} = \mathbb{S} \,\mathbb{S}^{-1} \quad \implies \quad 0 = \frac{d}{dt} \mathbb{E} = \dot{\mathbb{S}} \, \mathbb{S}^{-1} + \mathbb{S} \, \dot{\mathbb{S}}^{-1}
$$

Положим по определению $\mathbb{A} = \dot{\mathbb{S}} \, \mathbb{S}^{-1}$. Несложно проверить, что $\mathbb{A}^\top = \mathbb{S} \, \dot{\mathbb{S}}^{-1}$, то есть полученное выше выражение эквивалентно кососимметричности матрицы $\mathbb{A}$:
$$
\mathbb{A} + \mathbb{A}^\top = 0
$$

В главе о кинематике твердого тела Голдстейн показывает, что элементы кососимметрической матрицы $\mathbb{A}$ преобразуются как компоненты (псевдо-)вектора, называет его вектором угловой скорости. Возвращаясь к определению матрицы $\mathbb{A}$: $\mathbb{A} = \dot{\mathbb{S}} \, \mathbb{S}^{-1} \quad \implies \quad \dot{\mathbb{S}} = \mathbb{A} \mathbb{S}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение08.05.2017, 20:23 
Заслуженный участник


23/07/08
7306
Харьков
artfin в сообщении #1215053 писал(а):
Позвольте уточнить, почему у вас получилось $\dot{S} = S \times B$, а не $\dot{S} = B \times S$?
В правой части тут обычное матричное умножение, его лучше обозначать простой юкстапозицией двух буковок: $SB$ либо $BS$. Знак $\times$ намекает на векторное произведение, и его тут лучше не использовать. :-)

Вы получили формулу $\frac{d}{dt} S^j_p = B^k_p S^j_k$, я с ней согласен. Давайте посмотрим, как её интерпретировать в матричных терминах. Интерпретация зависит от того, какой индекс — верхний или нижний — мы считаем нумерующим строки, а какой — столбцы.

По-видимому, общепринятым является соглашение о том, что если оба индекса — одинаковой вариантности (и, таким образом, очевидно, какой первый, а какой второй), то первый нумерует строки, а второй столбцы. Слегка изменив нотацию, мы можем различать первый и второй и в нашем случае — писать $S^j{}_p$ либо $S_p{}^j$. Тогда вопрос сводится к тому, каким из двух вариантов понимать Вашу формулу:
$\begin{array}{lc}\bullet\; \dot S_p{}^j = B_p{}^k S_k{}^j&(1)\\\bullet\; \dot S^j{}_p = B^k{}_p S^j{}_k&(2)\end{array}$
Так как в произведении двух матриц «столбцовый» индекс первой матрицы сворачивается со «строковым» индексом второй матрицы, понятно, что из этих вариантов лишь первый можно записать в виде $\dot S = B S$. Во втором же для приведения к «цепному» виду надо переставить сомножители:
$\dot S^j{}_p=S^j{}_k B^k{}_p \quad\Rightarrow\quad \dot S=SB$

Теперь вспомним следующее. Элемент матрицы перехода от старого базиса к новому, стоящий в $m$-й строке и $n$-м столбце, является коэффициентом разложения $n$-го вектора нового базиса, стоящим при $m$-м векторе старого базиса. Это, вроде, тоже стандарт. Очень удобно: каждый вектор нового базиса записан в своём столбце. Но если мы это принимаем, то формулу $\tilde{\mathbf{e}}_p = S_p^j \mathbf{e}_j$ можно истолковать лишь как $\tilde{\mathbf{e}}_p = S^j{}_p\mathbf{e}_j$ (ещё лучше запись $\mathbf{e}_j S^j{}_p$), а не как $\tilde{\mathbf{e}}_p = S_p{}^j\mathbf{e}_j$. Это приводит к варианту (2).

Если всё-таки очень хочется иметь вариант (1), можно транспонировать обе части уравнения, и транспонированные матрицы назвать $B$ и $S$. В силу ортогональности при таком определении $S$ будет матрицей перехода от подвижного базиса к лабораторному — так тоже хорошо.

-- Пн май 08, 2017 21:02:01 --

Ещё парочка замечаний.

В большинстве случаев я за различение ко- и контравариантных индексов. Но если мы это делаем, мы берём на себя ответственность за то, что записанное уравнение инвариантно относительно произвольных преобразований координат (исключение — КТП, но о ней речь, вроде, не идёт, все компоненты пространственные). В таком случае, честная индексная запись уравнения $\dot{\mathbf a}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf a$ выглядела бы так (для простоты без тильд и базисных векторов):
$\dot a^p=\sqrt g\,g^{pi}\,\varepsilon_{ik\ell}\,\omega^k\,a^\ell$,
где $g=\operatorname{det}(g_{ik})$. Так как в нашей задаче это уравнение всё равно будет использоваться лишь в ортонормированных базисах, где $g_{ik}=\delta_{ik}, g=1$, мне показалось, что это перебор.

В символе Леви-Чивита я не поднимаю отдельные индексы, так как тензор $\varepsilon^i{}_{k\ell}$ уже не является абсолютно антисимметричным (в чём заключается весь интерес). Использую либо $\varepsilon_{ik\ell}$, либо $\varepsilon^{ik\ell}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение08.05.2017, 22:55 


12/10/11
56
Спасибо за разъяснение.

Цитата:
В правой части тут обычное матричное умножение, его лучше обозначать простой юкстапозицией двух буковок: $SB$ либо $BS$. Знак $\times$ намекает на векторное произведение, и его тут лучше не использовать. :-)

Хорошо, учту.

Цитата:
В символе Леви-Чивита я не поднимаю отдельные индексы, так как тензор $\varepsilon^i{}_{k\ell}$ уже не является абсолютно антисимметричным (в чём заключается весь интерес). Использую либо $\varepsilon_{ik\ell}$, либо $\varepsilon^{ik\ell}$.

Даа, кажется зря я полез с контр- и ковариантными индексами, уж очень хотелось посмотреть как это будет выглядеть :-) и конечно намудрил с символом Леви-Чивиты.

Не могли бы Вы все же посмотреть на мой подход, мне он кажется (по крайней мере пока что) более перспективным в вычислительном плане. У меня получилось 2 алгебраических уравнения и одно дифференциальное, сводящееся к простому интегрированию. Ваш же способ пока дает 3 сложных дифференциальных уравнения на эйлеровы углы, с этой точки зрения проще было решать систему: $\dot{\mathbf{J}} + \left[ \mathbf{\Omega}(\mathbf{e}, \dot{\mathbf{e}}) \times \mathbf{J} \right] = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение09.05.2017, 00:58 
Заслуженный участник


23/07/08
7306
Харьков
artfin в сообщении #1214734 писал(а):
$$
\left\{
\begin{aligned}
J_x &= J \sin \psi \sin \theta \\
J_y &= J \cos \psi \sin \theta \\
J_z &= J \cos \theta
\end{aligned}
\right.$$
Вот тут, как мне показалось, Вы в правой части использовали третий столбец матрицы $\mathbb S$ (в него как раз входят только углы $\psi, \theta$), а обещали использовать $\mathbb S^{-1}=\mathbb S^\top$. Хотя это, похоже, непринципиально.
artfin в сообщении #1215139 писал(а):
Ваш же способ пока дает 3 сложных дифференциальных уравнения на эйлеровы углы
Предполагалось, что у меня в результате численного решения ДУ сразу получается матрица $S$, а углы Эйлера вообще не нужно находить. :-) Ведь ортогональная матрица с известными элементами — тоже хороший способ задать вращение.
Даже если углы Эйлера нужны, всё равно, по замыслу, сначала надо найти $S(t)$. Последующее нахождение углов по $S$ — задача алгебраическая. При составлении расчетного ДУ углы Эйлера в $S$ подставлять не нужно.

Читаю дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение09.05.2017, 02:19 
Заслуженный участник


23/07/08
7306
Харьков
По крайней мере, на уровне идеи понял. Способ Ваш очень хороший. Момент импульса даёт два из трёх углов Эйлера. С учётом известной угловой скорости для третьего угла можно записать производную через известные функции, поэтому даже ДУ решать не нужно. Замечательно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод векторов из подвижной в лабораторную СК
Сообщение11.05.2017, 17:15 


12/10/11
56
Цитата:
Даже если углы Эйлера нужны, всё равно, по замыслу, сначала надо найти $S(t)$. Последующее нахождение углов по $S$ — задача алгебраическая. При составлении расчетного ДУ углы Эйлера в $S$ подставлять не нужно.

Да, ступил, конечно. Мне нужна только матрица $S(t)$, так что можно обойтись и без углов Эйлера.

Цитата:
Вот тут, как мне показалось, Вы в правой части использовали третий столбец матрицы $\mathbb S$ (в него как раз входят только углы $\psi, \theta$), а обещали использовать $\mathbb S^{-1}=\mathbb S^\top$. Хотя это, похоже, непринципиально.

Допустил ошибку в том сообщении: матрица $S$ есть транспонированная к той, что я написал. То есть такая:
$$
\mathbb{S} = 
\begin{bmatrix}
\cos \psi \cos \varphi - \cos \theta \sin \varphi \sin \psi & - \sin \psi \cos \varphi - \cos \theta \sin \varphi \cos \psi & \sin \theta \sin \varphi \\
\cos \psi \sin \varphi + \cos \theta \cos \varphi \sin \psi & - \sin \psi \sin \varphi + \cos \theta \cos \varphi \cos \psi & - \sin \theta \cos \varphi \\
\sin \theta \sin \psi & \sin \theta \cos \psi & \cos \theta
\end{bmatrix}
$$
Именно в таком виде она переводит координаты в МСК в координаты в ЛСК: $\mathbf{j} = \mathbb{S} \mathbf{J}$. Затем я использую последний столбец матрицы $\mathbb{S}^{-1}$, то есть, последнюю строку матрицы $\mathbb{S}$ (которая и содержит только углы $\theta, \psi$). Так что все написанное дальше верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group