Асимптотика интеграла

[TelmanStud]

Доброго дня Всем!
Подскажите пожалуйста, как доказать следующую асимптотическую формулу

$$\int\limits_1^{+\infty}\cfrac{e^{i\lambda t}}{\sqrt{t^2-1}}\,dt\sim\sqrt{\frac{\pi}{2\lambda}}e^{i\left(\lambda+\frac{\pi}{4}\right)},$$

при $\lambda \to +\infty.$

[Markiyan Hirnyk]

Интеграл равен $\rm {BesselK}_0(-i \lambda ).$ Асимптотики функций Бесселя хорошо изучены (см., например,

Цитата:

Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.

). Полагаю также, что нахождение такой асимптотики изложено в

Цитата:

Федорюк М.В. Метод перевала. — 1977. — С. 366.

Все это в настоящее время механизировано в Мэйпле и Математике.

[TelmanStud]

Markiyan Hirnyk
Несомненно, но вряд ли стоит вычислять интеграл, чтоб найти его асимптотику.

[Markiyan Hirnyk]

Вам указали на книгу Федорюка, где должно быть изложено нахождение асимптотики интеграла такого вида без его вычисления.

[ewert]

После замены $\lambda(t-1)=z$ получается $\frac{e^{i\lambda}}{\sqrt\lambda}\int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{iz}dz}{\sqrt{z(\varepsilon z+2)}}$, где $\varepsilon=\frac1{\lambda}$. При любом фиксированном эпсилоне, т.е. при любой лямбде положительную вещественную полуось можно перевести в положительную мнимую (что-то вроде леммы Жордана). А на мнимой полуоси после замены $z=ix^2$ в пределе $\varepsilon\to0$ получается $\frac{e^{i\lambda}\sqrt{2i}}{\sqrt\lambda}\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}dx$ -- вроде ровно то, что нужно.

[TelmanStud]

Спасибо Всем!