2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 08:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Пусть $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ гладкая. Тогда мне очень хочется написать вещь, вроде $dF = F'(t)dt$ проблема в том, что мне непонятен объект в RHS - мы векторное поле $F'(t)$ множим на 1-форму $dt$, что для меня является очевидным type mismatch error. Но написать так очень хочется, поэтому мне интересно - в каком смысле можно так написать? Конечно, можно написать покомпонентно, как-то вроде $F(t) = (F_x(t), F_y(t))^T$ и $dF_x = F_x'(t) dt$, $dF_y = F_y'(t) dt$ но компоненты это ведь не выход никогда! Хочу всё инвариантно!

-- 09.05.2017, 08:08 --

Я как задал, так сразу кое-что нашёл: wiki:vector-valued differential form. Ощущение, что можно обобщать и дальше - до коэффициентов в произвольном $\mathcal{O}_M$-модуле, так что пусть тема остаётся, наверное, вдруг кто что умное напишет :3

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 09:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А левый $dF$ у нас какого типа? Если это дифференциал отображения, т.е. гомоморфизм касательных пространств, то справа у нас просто тензорное произведение $T_{F(t)}\mathbb{R}^2 \otimes T^*_t \mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 09:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну да, гомоморфизм касательных пространств, вы правы, теперь всё на свои места чуть-чуть встало.

-- 09.05.2017, 08:48 --

Хотя глобально мне всё равно не понятно, $F'(t)$ не является честным cечением $T\mathbb{R}^2$ же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 09:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Так у нас и нет глобального объекта на $\mathbb{R}^2$, тут ничего не поделаешь. Глобальные вещи есть только на $\mathbb{R}$ и на кривой. Например, можно говорить про $T\mathbb{R}$ и пуллбэк $F^*T\mathbb{R}^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну это понятно, что нету, но эту трудность мне как-то и хочется обойти. То есть хотелось бы очень написать что-то вроде $Hom(T\mathbb{R},T\mathbb{R}^2)$ слева и $T^* \mathbb{R} \otimes T\mathbb{R}^2$ справа, но вот никак нельзя. И что делать? :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 10:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну так дифференциал лежит не в $\operatorname{Hom}(T\mathbb{R}, T\mathbb{R}^2)$ (потому что такого объекта вообще нет), а в $\operatorname{Hom}(T\mathbb{R}, F^*T\mathbb{R}^2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 10:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Гомоморфизмов векторных расслоений над разными базами нету? Да есть же. И $dF$ оно отображает именно из $T \mathbb{R}$ в $T \mathbb{R}^2$. Всегда так думал. Вот ещё: ncatlab: tangent map

-- 09.05.2017, 09:44 --

Всё таки мне гораздо больше хочется рассматривать $F$ не как отображение между пространствами, не как $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, а как $F: C^\infty(\mathbb{R}; \mathbb{R}^3)$ и $\mathbb{R}^3$ воспринимать как абелеву группу коэффициентов, то есть заменить во всей теории де-Рама изначально $C^\infty(M;\mathbb{R})$ на $C^\infty(M;E)$ для произвольного векторного расслоения $E$, или даже для произвольного $\mathcal{O}_M$-модуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 10:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
kp9r4d в сообщении #1215189 писал(а):
Гомоморфизмов векторных расслоений над разными базами нету? Да есть же. И $dF$ оно отображает именно из $T \mathbb{R}$ в $T \mathbb{R}^2$. Всегда так думал. Вот ещё: ncatlab: tangent map
А, если так, то да. Но в такой категории вообще есть тензорные произведения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Вроде нету.

-- 09.05.2017, 10:17 --

На самом деле история такая, я увидел в интернете такую картинку (тег img её парсить не захотел, почему-то), ну я, конечно же, написал $dF = m \frac{d^2 v}{dt^2} dt$, проблем с формальным манипулированием значками у меня никаких нету, а потом я подумал: а что я только что сделал? И ответить толком не смог. Но, видимо, силу нужно воспринимать как векторное поле в $\mathbb{R} \times M$ где $M$ это некоторое "мировое" риманово многообразие а $\mathbb{R}$ это время. Тогда всё более-менее стаёт на свои места, потому что запись $dF$ перестаёт быть корректной, а корректна только запись $\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} F$. Соответственно, если мы хотим проследить ситуацию в $\mathbb{R}^3$ то нужно взять $M=\mathbb{R}^3$.
Так что этот дедушка сам зомби, ящетаю :3

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Обычно такие дедушки - тихие фрики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 20:25 


15/04/12
162
Про такие вещи обычно в любом учебнике по комплексной геометрии есть в подробностях - $k$ - формы со значениями в векторном расслоении $E$ на многообразии $M$ это просто сечения $ E \otimes \Omega^k(M)$, ключевой объект в теории Ходжа и проч. Или если хочется в связи с физикой то будут формы со значениями в алгебре Ли калибровочной группы данной теории (но это сводится к векторным расслоениям). Вот тут в главе 5 https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~de ... agbook.pdf наверняка есть что-то полезное (и вообще написано хорошо).

UPD.
Локально свободный пучок модулей над $O(M)$ это более менее всегда и есть пучок сечений векторного расслоения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Да разобрались уже, по ссылке в википедии более-менее то же самое написано. Энивей спасибо, за учебник особенно (правда с тем интернетом, что у меня сейчас посмотреть я его смогу только позже).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях
Сообщение09.05.2017, 22:00 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Коллеги, мне кажется, что вы стали себе морочить головы на пустом месте, с самого начала! Это не тот случай, когда для достижения лучшего понимания надо наворачивать сложные концепции одна на другую.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group