Маятник на тележке с пружиной, периодические решения

[SurovM]

Есть механическая система -- маятник на тележке. Считаем тележку материальной точкой с массой $m_{cart}$. Маятник (идеальный математический) с массой $m$ и длиной $l$ прикреплён к тележке, свободно вращается вокруг точки закрепления. Тележка движется только в горизонтальном направлении. Тележка прикреплена к стене пружиной (возможно нелинейной). Система консервативна.

Введены обобщённые координаты $x$ -- горизонтальная координата тележки и $\varphi$ -- угол отклонения маятника (отсчитывается от горизонтального положения). Сила натяжения пружины является гладкой функцией её деформации $F=f(x)$.



Собственно, меня интересует вопрос существования периодических решений, при которых маятник колеблется горизонтально.

Точнее: существует ли гладкая функция $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, начальные условия $x_0, \dot{x}_0, \varphi_0, \dot{\varphi}_0 \in \mathbb{R}$ такие, что

[1] траектория движения соответствующей механической системы $q_\star(t) = (x_\star(t), \varphi_\star(t))$ является периодической $\exists T>0: q_\star(t+T) = q_\star(t) \forall t \in \mathbb{R}$ и
[2] маятник не покидает окрестности горизонтального положения $|\varphi_\star(t)| < \frac{\pi}{4} \, \forall t \in \mathbb{R}$?

Пару подобных решений мне удалось найти и доказать их существование (анимацию можно посмотреть здесь https://www.youtube.com/watch?v=NIXzwuEEPwM). Тем не менее, я не знаю как решаются такие задачи в общем виде, существуют ли общие методы их решения. Я нашёл несколько статей по теме, например Giambò - Multiple brake orbits in n-dimensional disks, там используют категорию Люстерника-Шнирельмана для решения вариационной задачи с закреплёнными концами. Но этот результат, по видимому, тут неприменим, т.к. область возможного движения $B = \{q: V(q) \leq H\}$ ($V$ -- потенциальная, $H$ -- полная энергия системы) не совпадает с той областью, в которой я ищу периодические решения.

Какие есть идеи решения?

[tester22]

посмотрите про маятник Капицы