2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на экстремумы функции.
Сообщение28.04.2017, 19:21 


03/04/14
303
Всем привет. Вот решал задачку, общая логика ясна, но в технической части что-то застрял. Помогите, разобраться.


Пусть $n$ — натуральное число, а $a$ и $b$ — положительные числа. Через точку с
координатами $(a,b)$ проведена прямая, пересекающая оси абсцисс и ординат в точках $u>0$
и $v>0$ соответственно. Найдите уравнение прямой, для которого выражение $u^n+v^n$
принимает наименьшее значение. Приведите это уравнение к виду $\alpha x+\beta y=1$ и в
ответе укажите выражение $\alpha x+\beta y$.
--------------------------------------------------------------------------------------
В общем нужно составить уравнение прямой, выразить $u$ и $v$ через угловой коэффициент и
найти минимум функции $u^n + v^n$.

Итак, известно, что на искомой прямой лежат три точки. Точки $А(a, b)$, $B(u, 0)$ и $C(0, v)$. Уравнение прямой $y = kx + l$. Подставим в него три данные точки:

$\begin{cases}
 b=ka+l \eqno    (1) \\
 0=ku+l \eqno    (2) \\
 v=k 0+l \eqno   (3) \\
\end{cases} $

И выразим $u$ и $v$, через угловой коэффициент $k$:

$(1) - (2):$
$b = ka - ku$
$b = k(a - u)$
$a-u = \frac b k$
$u = a - \frac b k$


$(3) - (2):$
$v = -ku$
$v = -k(a - \frac b k)$
$v = -ak + \frac{bk}{k}$
$v = b - ak$

Теперь запишем функцию:
$f(k) = u^n + v^n = (a - \frac b k)^n + (b - ak)^n$

Найдем производную:
$f'(k) = \frac{bn}{k^2}(a - \frac b k )^{n-1} - an(b-ak)^{n-1} = \\
n(b-ak)^{n-1}\Big(\frac{b}{k^2} \Big(\frac{ak-b}{k(b-ak)}\Big)^{n-1} - a\Big) = \\
n(b-ak)^{n-1}\Big(\frac{b}{k^2} \Big(\frac{-(b-ak)}{k(b-ak)}\Big)^{n-1} - a\Big) = \\
n(b-ak)^{n-1}\Big(\frac{b}{k^2} \Big(\frac{(-1)}{k}\Big)^{n-1} - a\Big) = \\
n(b-ak)^{n-1}\Big(\frac{b(-1)^{n-1}}{k^{n+1}} - a\Big)$

Приравниваем производную к $0$:
$f'(k)=n(b-ak)^{n-1}\Big(\frac{b(-1)^{n-1}}{k^{n+1}} - a\Big) = 0$

Вот. И тут, рассматривая вторую скобку, мне не ясно, куда эту $(-1)^{n-1}$ девать, так как знак будет положительным или отрицательным в зависимости от четности или нечестности степени $n$:

$k = \sqrt[n+1]{(-1)^{n-1} \dfrac b a}$

Как быть дальше?
Ответ завязан на этот корень этой скобки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на экстремумы функции.
Сообщение28.04.2017, 20:58 


18/04/14
157
sbp
Можем ли мы положить, что $(-1)^{n+1}=(-1)^{n-1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на экстремумы функции.
Сообщение29.04.2017, 04:39 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
При чётных $n$, как по мне, можно сразу угадать решение, проведя прямую через точку и центр координат (буде упомянутые точки не совпадают).
При нечётных дробь с $k$ в знаменателе убывает, стало быть, меняет знак с плюса на минус. Если, конечно, первая скобка положительна. Впрочем, между двумя минимумами непрерывной функции обязан быть максимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на экстремумы функции.
Сообщение29.04.2017, 17:46 


03/04/14
303
Katmandu в сообщении #1213035 писал(а):
Можем ли мы положить, что $(-1)^{n+1}=(-1)^{n-1}$?

Полагаю, что можем, а что?

Так... ну в случае когда $n$ - четное, получается $k = \sqrt[n+1]{-\dfrac b a} = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|$.
Если $n$ - нечетное, получается $k = \sqrt[n+1]{\dfrac b a} = \pm\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|$.
Так как $k<0$ (потому, что по условию $u>0$ и $v>0$ ), то положительные корни нам не нужны.
А отрицательные значения $k$ существуют и в случае четного $n$ и в случае нечетного.

Далее, корень из первой скобки $k=\dfrac b a$ тоже положительный и не подходит.

Итак, у нас есть две интересующие нас точки:
$k = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|$ и
$k = 0$ (как точка в которой $f(k)$ не дифференцируема)

Рассмотрим значения производной в точках слева и справа от точки $-\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|$.
Первая скобка $n(b-ak)^{n-1} > 0$ в любом случае.

Рассмотрим значение второй скобки в точке слева $k = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac{2b}{a}}\Big|$:
$\Big(\dfrac{b(-1)^{n-1}}{(-\Big|\sqrt[n+1]{\frac{2b}{a}}\Big|)^{n+1}} - a\Big) = \Big(\dfrac{b}{\frac{2b}{a}} - a\Big) = \Big(\dfrac{a}{2} - a\Big) = -\dfrac{a}{2} < 0$

И в точке справа $k = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac{b}{2a}}\Big|$:
$\Big(\dfrac{b(-1)^{n-1}}{(-\Big|\sqrt[n+1]{\frac{b}{2a}}\Big|)^{n+1}} - a\Big) = \Big(\dfrac{b}{\frac{b}{2a}} - a\Big) = 2a - a = a > 0$

Итак, $k = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|$ - точка минимума.

Теперь подставим эту точку в уравнение прямой:
$y = kx + l$, где $l = v = b - ak = b + \Big|\sqrt[n+1]{b}{a}\Big|a$
$y = -\Big|\sqrt[n+1]{\dfrac b a}\Big|x + b + \Big|\sqrt[n+1]{b}{a}\Big|a$

(Как вообще записывать, если имеешь ввиду именно положительное значение корня, в случае четной степени? Дальше опущу модуль - надоело его писать)

$y = -\sqrt[n+1]{\dfrac b a}x + b + \sqrt[n+1]{\dfrac b a}a$
$y = -\dfrac{\sqrt[n+1]{b}x}{\sqrt[n+1]{a}} + b + \dfrac{\sqrt[n+1]{b}a}{\sqrt[n+1]{a}}$
$\sqrt[n+1]{a}y = -\dfrac{\sqrt[n+1]{b}x}{\sqrt[n+1]{a}}\sqrt[n+1]{a} + b\sqrt[n+1]{a} + \dfrac{\sqrt[n+1]{b}a}{\sqrt[n+1]{a}}\sqrt[n+1]{a}$
$\sqrt[n+1]{a}y = -\sqrt[n+1]{b}x + \sqrt[n+1]{a}b + \sqrt[n+1]{b}a$
$\sqrt[n+1]{a}y +\sqrt[n+1]{b}x = \sqrt[n+1]{a}b + \sqrt[n+1]{b}a$

$\dfrac{\sqrt[n+1]{a}y +\sqrt[n+1]{b}x}{\sqrt[n+1]{a}b + \sqrt[n+1]{b}a} = 1$
$\dfrac{\sqrt[n+1]{a}y}{\sqrt[n+1]{a}(b+\sqrt[n+1]{b}a^{\frac{n}{n+1}})} +\dfrac{\sqrt[n+1]{b}x}{\sqrt[n+1]{b}(a +\sqrt[n+1]{a}b^{\frac{n}{n+1}})} = 1$
$\dfrac{y}{b+\sqrt[n+1]{b}a^{\frac{n}{n+1}}} + \dfrac{x}{a +\sqrt[n+1]{a}b^{\frac{n}{n+1}}} = 1$


Это собственно и ответ в требуемой форме.
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на экстремумы функции.
Сообщение29.04.2017, 19:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Верно, только чудовищно долго. На самом деле из $\alpha x+\beta y=1$ сразу следует $\alpha=\frac1u$ и $\beta=\frac1v$ (уравнение прямой "в отрезках") и $\alpha a+\beta b=1$. Т.е. минимизировать надо выражение $\frac1{\alpha^n}+\frac1{\beta^n}=\frac1{\alpha^n}+\left(\frac{b}{1-\alpha a}\right)^n$. Тупое дифференцирование по альфе приводит к уравнению $\frac{n}{\alpha^{n+1}}=\frac{nab^n}{(1-\alpha a)^{n+1}}$, после чего извлечение корня степени $n+1$ практически сразу даёт $\alpha=\left(a+a^{\frac1{n+1}}b^{\frac{n}{n+1}}\right)^{-1}$. Выражение для $\beta$ можно и не искать (хотя для контроля было бы полезно) -- оно сразу получается из соображений симметрии.

Возиться со знаками бессмысленно, т.к. по условию всё положительно. То, что это точка минимума, следует из монотонности производной $-\frac{n}{\alpha^{n+1}}+\frac{nab^n}{(1-\alpha a)^{n+1}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на экстремумы функции.
Сообщение07.05.2017, 07:10 


03/04/14
303
ewert
Да, спасибо, так проще)

А вот еще вопрос:
ewert в сообщении #1213179 писал(а):
То, что это точка минимума, следует из монотонности производной $-\frac{n}{\alpha^{n+1}}+\frac{nab^n}{(1-\alpha a)^{n+1}}$.

А что-то я не понял, если функция монотонно убывающая, и у нее есть точка минимума, то как в этой точке может существовать производная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на экстремумы функции.
Сообщение07.05.2017, 07:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bayah в сообщении #1214629 писал(а):
если функция монотонно убывающая

Не функция, а производная. И не убывающая, а возрастающая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на экстремумы функции.
Сообщение08.05.2017, 09:56 


03/04/14
303
ewert в сообщении #1214632 писал(а):
Не функция, а производная. И не убывающая, а возрастающая.


Нда, точно.
Спасибо)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group