Правильно ли решаю?

[byulent]

Задача:

Цитата:

Случайные величины $\xi_1,\ldots,\xi_n$ независимы и равномерно распределены на отрезке
$[0,1]$. Найти $\mathsf{P}(\xi_1+\ldots+\xi_n\leqslant{x})$ при $0\leqslant{x}\leqslant{1}$.

Получается, что плотность расп-я имеет вид $f_\xi_i(x_i)=1, x\in{[0,1]}$.
Для 2-мерного случая ($n=2%$) нашёл решение здесь: http://sernam.ru/book_tp.php?id=60 (пример 2).
Тогда для 3-мерного случая:

$$f_{\xi,\eta,\zeta}(x,y,z)=f_\xi(x)f_\eta(y)f_\zeta(z)=1;$$

$$G(w)=\iiint\limits_D{dxdydz};$$

где $D$ - куб со стороной 1, и тогда

$$\begin{cases} G(w)=0,&w<0;\\ G(w)=\dfrac{w^3}{3},&0\leqslant{w}<1;\\ G(w)=???,&1\leqslant{w}<2;\\ G(w)=1-\dfrac{(3-w)^3}{3},&2\leqslant{w}<3;\\ G(w)=1,&w\geqslant{3} \end{cases}$$

.
И обобщая на n-мерный вектор:

$$f_{\xi_1,\ldots,\xi_i}(x_1,\ldots,x_i)=f_\xi_1(x_1)\ldots f_\xi_i(x_i)=1;$$

$$G(w)=\idotsint\limits_D{dx_1\ldots dx_i};$$

$$\begin{cases} G(w)=0,&w<0;\\ G(w)=\dfrac{w^n}{n},&0\leqslant{w}<1;\\ \ldots;\\ G(w)=1-\dfrac{(n-w)^n}{n},&n-1\leqslant{w}<n;\\ G(w)=1,&w\geqslant{n} \end{cases}$$

.
Вопросы:
1. Правильно ли я решаю?
2. Как найти интеграл, обозначенный мной знаком вопроса, и обобщить это на n-мерие (хотя это, судя по условию задачи, неважно)?

[Brukvalub]

byulent в сообщении #1212751 писал(а):

1. Правильно ли я решаю?

byulent в сообщении #1212751 писал(а):

Тогда для 3-мерного случая:

$$f_{\xi,\eta,\zeta}(x,y,z)=f_\xi(x)f_\eta(y)f_\zeta(z)=1;$$

$$G(w)=\iiint\limits_D{dxdydz};$$

Это не решение, а глупость какая-то. Например, в последней формуле правая часть - просто константа...

[byulent]

Brukvalub в сообщении #1212777 писал(а):

Например, в последней формуле правая часть - просто константа...

Константа должна быть или константа у меня?

[--mS--]

У Вас константа. Интеграл от плотности по всему носителю распределения есть единица. А интегрировать Вам следует по области $x_1+\ldots+x_n<w$. Только зачем это делать, если в задаче требуется найти ответ лишь при $0<w<1$, и ищется он из геометрических соображений как объём пирамидки в кубе? В том же кубе проведите плоскость $x+y+z=w$ повыше при $1<w<2$ и увидите, какой объём надо вычислять, если очень хочется заполнить "???". Либо нарисуйте два найденных куска функции распределения, а кусок (многочлена третьей степени) между ними подберите из соображений непрерывности.

В $n$-мерном случае ответ и доказательство есть во втором томе В.Феллера, вторая или третья главы.

Кстати, ответ $\frac{w^n}{n}$ неправильный. Как и $\frac{w^3}{3}$.

[byulent]

--mS-- в сообщении #1212801 писал(а):

Кстати, ответ $\frac{w^n}{n}$ неправильный. Как и $\frac{w^3}{3}$.

Разве объём этой n-мерной пирамиды вычисляется не так?

[--mS--]

Нет. объём её есть $1/n$ от "площади основания". А "площадь" основания - это объём $n-1$-мерной пирамиды.