Биномиальное распредление

[Quadrelle]

Задача: Коля и Вася решили прогулять уроки и пришли в торговый центр, чтобы доставать мягкие игрушки из автоматов с «клешней».

Каждый выбирает по одному автомату и в дальнейшем каждый из них будет играть только на своём. Мальчики не знают, но для каждого из аппаратов есть определенная вероятность достать игрушку. Для аппарата Коли распределение такое: 80% - не вытащить ничего, 15% - вытащить одну игрушку, 5% - вытащить две игрушки. Для аппарата Пети: 85% - не вытащить ничего, 8% - вытащить одну игрушку, 7% - вытащить две игрушки.

Если у каждого из мальчиков есть деньги ровно на 500 попыток, какова вероятность, что:

а) больше игрушек вытащит Коля,

б) больше игрушек вытащит Вася,

в) мальчики вытащат поровну игрушек.

Мой ход мыслей:

$n =500$

Задача имеет отношение к полиномиальному распределнию, зададим $q_1 =0.8, p_1=0.15, p_2 =0.05$ и для другого распределения - $q_2 =0.85, p_1^{'}=0.08, p_2^{'} =0.07$. То есть зададим случаные величины $X_i, Y_i$ принимающие значения $0, 1,2$. Образуем суммы: $X = X_1 + \ldots X_{500}$, $Y = Y_1 + \ldots Y_{500}$.

Мат. ожидание $MX = n*(p_1+2*p_2)$, $MY$ аналогично.
Дисперсия $DX = n*(p_1+4*p_2 -(p_1+2*p_2)^2)$, $DY$ аналогично.

Для пунктов a и b искомая величина есть $P(X-Y>0)$. Я ее ищу через теорему Муавра-Лапласа:

$P(X-Y>0)=P(\frac{X-Y-E(X-Y)}{\sqrt{D(X-Y)}} > \frac{-E(X-Y)}{\sqrt{D(X-Y)}}) =-F(\frac{-E(X-Y)}{\sqrt{D(X-Y)}}) = F(\frac{EX-EY)}{\sqrt{DX-DY)}})$.

дальше получается $F(-4.3211)=-0.5$, что неверно.

Помогите, пожалуста, найти ошибку. Заранее спасибо.

[Quadrelle]

Помогите, пожалуйста.
Случай в) я считаю через локальную теорему Муавра-Лапласа и получаю величину порядка $10^{-5}$.
В итоге получаем ответы: a)$приблизительно 0.5$ b)$приблизительно 0.5$ c)$приблизительно 0$

Такое может быть?

[--mS--]

Дисперсия разности не равна разности дисперсий.

[Quadrelle]

еще присутствует ковариация, но она равна 0, так как не зависимы

[Otta]

Quadrelle
А посчитайте, а. Дисперсию разности.

[Quadrelle]

Otta в сообщении #1212565 писал(а):

Quadrelle
А посчитайте, а. Дисперсию разности.

Да, разобрался. Дисперсия разности равна сумме дисперсий.
Другой вопрос заключается в том, что в пункте a) вероятность положительная, а в пунке б) та же вероятность, но со знаком минус.
Где ошибка? Заранее спасибо.

[Otta]

А $F$ это что такое?

[alisa-lebovski]

Попробуйте найти формулировку центральной предельной теоремы.