2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Съесть все конфеты (по мотивам задачи С. Берлова)
Сообщение22.03.2017, 10:30 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Перед Васей лежит $n$ кучек с $1, 2, \dots , n$ конфетами. За одну операцию Вася может добавить 1 конфету в одну из кучек, после чего съесть любую кучку с четным числом конфет. Если четных кучек после добавления конфеты нет, халява заканчивается. При каких натуральных $n$ Вася может съесть все конфеты?
(по мотивам задачи С. Берлова)

*Конечностью объёма желудка Васи пренебречь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Съесть все конфеты (по мотивам задачи С. Берлова)
Сообщение22.03.2017, 11:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Каждым ходом Вася либо создаёт чётную кучку и тут же её приканчивает, либо уничтожает (делает нечётной) одну такую кучку, а потом ещё съедает другую. Так или иначе, чётность числа чётных кучек по четвергам сохраняется. Если их число было изначально нечётно, нулём оно не станет никак. Если было чётно - станет, и понятно как.

Нечётные кучки вообще ни на что не влияют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Съесть все конфеты (по мотивам задачи С. Берлова)
Сообщение22.03.2017, 11:07 


26/08/11
2057
Количество конфет в кучах не имеет значение, только четность имеет значение. Так что можно работать в двоичной системе
$101010\cdots$
За одну операцию меняем символ на противоположный и убираем один ноль, так что четность нулей не меняется.
Значит Вася съесть все конфеты тогда и только тогда, когда нулей - четное число, т.е при $n\equiv 0,1 \pmod 4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Съесть все конфеты (по мотивам задачи С. Берлова)
Сообщение22.03.2017, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск

(Оффтоп)

Если осталась одна кучка с четным числом конфет, то добавим в неё одну конфету, затем съедим расположенную рядом кучку с нулем конфет, затем съедим оставшуюся кучку. (В условии не запрещено съедать пустые кучки с четным числом колнфет.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Съесть все конфеты (по мотивам задачи С. Берлова)
Сообщение22.03.2017, 11:43 


14/01/11
2916

(Оффтоп)

А если непустых кучек не осталось, можно таким же образом наполнить конфетами пустую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Съесть все конфеты (по мотивам задачи С. Берлова)
Сообщение22.03.2017, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1202582 писал(а):
За одну операцию Вася может добавить 1 конфету в одну из кучек, после чего съесть любую кучку с четным числом конфет.
Если Вася добавил конфету, но перетерпел с поеданием кучки (в условии не запрещено терпеть),
то он тоже съест все конфеты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Съесть все конфеты (по мотивам задачи С. Берлова)
Сообщение24.04.2017, 21:28 


10/03/17
26
$\varphi 123$ 123
 !  Toucan:
См. post1233773.html#p1233773

 Профиль  
                  
 
 Re: Съесть все конфеты (по мотивам задачи С. Берлова)
Сообщение26.04.2017, 04:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Albert61, проба пера? Для этого есть другой раздел

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group