2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 10:11 


21/04/17
8
Здравствуйте! Помогите доказать, что $\left\lbrace n\alpha\right\rbrace$, где $n\in\mathbb{N}$ и $\alpha$ - иррациональное положительное, всюду плотно во множестве $(0,1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 11:06 


11/08/16
156
Для начала покажем, что числом вида $\[na\]$ (где $\[n \in \mathbb{N}\]$ и $\[a\]$
- иррациональное положительное) можно сколь угодно близко приблизиться к натуральному числу (\$[\forall \varepsilon  > 0\exists n,a,m \in \mathbb{Z}:0 < na - m < \varepsilon \]$):
Рассмотрим $\[n\]$ чисел $\[a,2a,3a,...,na\]$ их дробная часть попадает в один из $\[(n - 1)\]$ промежутков $\[\left( {0;\frac{1}{{n - 1}}} \right),\left( {\frac{1}{{n - 1}};\frac{2}{{n - 1}}} \right),...,\left( {\frac{{n - 2}}{{n - 1}};1} \right)\]$ Тогда (по принципу Дирихле) найдется два числа, попавших в один и тот же промежуток и тогда их разность (тоже число вида $\[{n_0}a\]$) будит иметь дробную часть в промежутке $\[\left( {0;\frac{1}{{n - 1}}} \right)\]$ и (с увеличением $\[n\]$) этот промежуток можно сколь угодно сузить, а значит мы можем сколь угодно точно приблизиться к натуральному числу числами вида $\[an\]$. Несложно доказать, что из возможности сколь угодно точно приблизиться к натуральному следует возможность сколь угодно точно приблизиться к рациональному числу, но т.к. множество рациональных всюду плотно, то и множество всех чисел $\[an\]$ тоже всюду плотно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 11:09 
Заслуженный участник


12/09/10
1467
sa233091, ваше представление о помощи идет вразрез с правилами форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 11:39 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5625
 !  sa233091, предупреждение за полное решение простой учебной задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 11:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14405
Новомосковск
Предложенное решение содержит ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 11:57 


11/08/16
156
Someone в сообщении #1211243 писал(а):
Предложенное решение содержит ошибки.

А какие? Я просто сам не очень разбираюсь в этой теме, подскажите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 12:10 
Заслуженный участник


11/05/08
31000
sa233091 в сообщении #1211245 писал(а):
А какие?

Во-первых, скобки слишком круглы. Во-вторых: а где использована иррациональность альфы?...

Reyg в сообщении #1211223 писал(а):
$\left\lbrace n\alpha\right\rbrace$, где $n\in\mathbb{N}$ и $\alpha$ - иррациональное положительное, всюду плотно во множестве $(0,1)$.

Неправильная запись: поскольку первое слово "множество" отсутствует, фигурные скобки именно его и заменяют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14405
Новомосковск
Reyg, ваше первое сообщение первый же модератор, его увидевший, сразу же снёс бы в Карантин, поскольку начисто отсутствуют какие-либо попытки самостоятельного решения. Модератор, очевидно, не успел это сделать. Но ещё не вечер, и если вместо попыток решения мы увидим слёзные мольбы написать готовое решение, то тема точно поедет в Карантин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 12:44 


11/08/16
156
ewert в сообщении #1211248 писал(а):
Во-первых, скобки слишком круглы

Скобки круглые потому, что $\[a\]$ - иррационально

-- 21.04.2017, 13:10 --

ewert в сообщении #1211248 писал(а):
Во-вторых: а где использована иррациональность альфы?...

Я бы хотел пояснить тот переход, что скрыл за словами
sa233091 в сообщении #1211234 писал(а):
Несложно доказать, что из возможности сколь угодно точно приблизиться к натуральному следует возможность сколь угодно точно приблизиться к рациональному числу

Покажем, что для любого $\[\varepsilon  > 0\]$ и любого рационального $\[x \in \left( {0;1} \right)\]$ найдется число вида $\[an\]$ такое , что $\[0 < an - x < \varepsilon \]$.
Мы знаем, что
sa233091 в сообщении #1211234 писал(а):
$[\forall \varepsilon  > 0\exists n,a,m \in \mathbb{Z}:0 < na - m < \varepsilon \]$

Домножим неравенство на $ \[\frac{x}{m}\]$:
$\[n\left( {a \cdot \frac{x}{m}} \right) - x < \varepsilon \left( {\frac{x}{m}} \right) < \varepsilon \]$
Заметим, что $\[a \cdot \frac{x}{m}\]$ число иррациональное, а значит $\[n\left( {a \cdot \frac{x}{m}} \right)\]$ - число вида $\[an\]$

-- 21.04.2017, 13:23 --

Reyg в сообщении #1211223 писал(а):
Помогите доказать, что $\left\lbrace n\alpha\right\rbrace$, где $n\in\mathbb{N}$ и $\alpha$ - иррациональное положительное, всюду плотно во множестве $(0,1)$.

А вообще зачем здесь $\[n\]$? Разве в условии говорится не об обычной плотности множества иррациональных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 16:04 
Аватара пользователя


20/03/12
123
sa233091 в сообщении #1211259 писал(а):
А вообще зачем здесь $\[n\]$? Разве в условии говорится не об обычной плотности множества иррациональных чисел?

Исходная формулировка задачи действительно весьма туманна и ее нужно уточнять, но я скорее склонен считать, что $\alpha$ фиксировано и задано (например, $\sqrt2$), а фигурными скобками здесь обозначено не множество, а дробная часть числа $n\alpha$. То есть, задача состоит в том, чтобы доказать, что последовательность дробных частей чисел вида $n\alpha$ всюду плотна на $(0;1)$. В таком виде это уже более-менее содержательная задача.

В общем, нужно ждать, пока ТС сам не поправит условие так, чтобы оно стало корректным и читалось однозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 18:42 


11/08/16
156
Human в сообщении #1211310 писал(а):
Исходная формулировка задачи действительно весьма туманна и ее нужно уточнять, но я скорее склонен считать, что $\alpha$ фиксировано и задано (например, $\sqrt2$), а фигурными скобками здесь обозначено не множество, а дробная часть числа $n\alpha$. То есть, задача состоит в том, чтобы доказать, что последовательность дробных частей чисел вида $n\alpha$ всюду плотна на $(0;1)$. В таком виде это уже более-менее содержательная задача.

Да, я с вами согласен

-- 21.04.2017, 18:51 --

Впрочем тогда задачу можно решить все тем-же принципом Дирихле (который, надо заметить, часто фигурирует в подобного рода задачах). Но я думаю не следует приводить решение (учусь на собственных ошибках) и я лишь намекну ТС, что здесь также уместна идея возможности сколь угодно точно приблизить 0

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать
Сообщение21.04.2017, 21:09 
Заслуженный участник


11/05/08
31000
Human в сообщении #1211310 писал(а):
а фигурными скобками здесь обозначено не множество, а дробная часть числа $n\alpha$.

Здесь фигурными скобками обозначено одновременно и то, и другое. Что неприлично. Но не более прилично было бы и ставить двойные фигурные скобки. В общем, весьма неудачная запись.

Что, впрочем, никак не влияет на недвусмысленность самой постановки вопроса. Это ведь стандартная даже и не задача, а теорема. И тут на форуме она уже многократно обсасывалась.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group