2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма косинусов и оптимизация
Сообщение19.04.2017, 13:19 


10/12/14
17
Добрый день! Допустим, есть функция суммы косинусов с разными частотами и фазами:

$F_1(t) = A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1) + A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2) + ... + A_k\cos(\omega_kt+\varphi_k)$.

Требуется найти такие параметры $X, Y, Z$ функции

$F_2(t) = X\cos(Yt+Z)$,

чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений значений этих функций:

$\sum\limits_{t=1}^{N}(F_1(t)-F_2(t))^2$.

Иными словами: как найти параметры косинусоиды, чтобы аппроксимировать функцию суммы косинусоид? Есть ли решение в общем виде?

Примечание: целевая функция суммы квадратов отклонений не является единственно возможной; рассматриваются и другие варианты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма косинусов и оптимизация
Сообщение19.04.2017, 13:44 


05/09/16
1236
embi
Получается вы как-бы хотите выделить один "наиболее подходящий" чистый тон из многотонального сигнала.
Мне кажется, что просто надо взять максимальную амплитуду ($A_k$), и из этого косинуса -- его частоту и фазу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма косинусов и оптимизация
Сообщение19.04.2017, 14:29 
Заслуженный участник


10/01/16
1256
embi
А что бы не сосчитать частные производные по $X,Y,Z$ да и приравнять их нулю?
Нерешабельное ур-е получится, однако....
А если в целевой функции заменить сумму интегралом? Та же фигня...
А градиентный метод? Что то он даст, да только - никаких гарантий....
Нда, мутная задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма косинусов и оптимизация
Сообщение19.04.2017, 15:24 


10/12/14
17
wrest
Да, можно взять максимальную амплитуду, но результат неоптимальный. Можно простым перебором подобрать лучше.

DeBill
Да, уравнения по частным производным решаются крайне сложно, пока в явном виде не получил ответа.
Результат по градиентному методу очень сильно зависит от начальной точки, как оказалось, и вычислительно сложен для больших $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма косинусов и оптимизация
Сообщение21.04.2017, 09:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5248
Москва
Подгоняйте авторегрессию второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма косинусов и оптимизация
Сообщение21.04.2017, 11:11 


10/12/14
17
Евгений Машеров, расскажите, пожалуйста, подробнее. Интересует не техника подгона, а концепция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма косинусов и оптимизация
Сообщение21.04.2017, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5248
Москва
Идея в общем виде простая. Решением возвратного уравнения $x_t=a_1x_{t-1}+\cdots+a_nx_{t-n}$ является сумма $\frac n 2$ синусоид (со сдвигом по фазе и, вообще говоря, затухающих или нарастающих по экспоненту). Оценив его параметры, можем решить вспомогательное уравнение
$z^n-a_1z^{n-1}-\cdots-z_n=0$, комплексные корни которого дадут нам частоты (как аргумент комплексных корней) и декременты затухания (логарифмы амплитуд).
Разные алгоритмы оценки (авторегрессия, через собственные значения и т.п.) дают разные методы оценки частот (подробнее, например, Марпл-мл., "Цифровой спектральный анализ" и другие книги). Достоинство и недостаток такого подхода состоят в том, что число пиков спектра у нас априори задано порядком модели. Это вносит элемент произвола, но позволяет получить параметры отдельных пиков точнее, чем через БПФ и тому подобное.
В частном случае Вашей задачи затухание отсутствует.
Пусть $y(t)=A\cos(Bt+C)$
Тогда можно найти
$y(t+1)=A\cos(Bt+C)\cos(B)-A\sin(Bt+C)\sin(B)$
$y(t-1)=A\cos(Bt+C)\cos(B)+A\sin(Bt+C)\sin(B)$
и $y(t+1)+y(t-1)=2A\cos(Bt+C)\cos(B)=2y(t)\cos(B)$
Что очевидным образом позволяет найти $\cos(B)$
После этого можно построить $x_1(t)=\cos(Bt)$ и $x_2(t)=\sin(Bt)$, затем регрессию y на $x_1, x_2$, откуда придти к амплитуде и фазе (или предпочесть оставить коэффициенты при косинусе и синусе, как удобнее).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма косинусов и оптимизация
Сообщение23.04.2017, 07:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5248
Москва
Тут никак не используется то, что это "сумма косинусов", работает в общем случае. Хотя если сигнал не содержит такой составляющей - будет бред.
Возможно, это удастся обыграть, принимая при оценивании отклонения не нормально распределёнными (что даёт наименьшие квадраты), а учитывая, что отклонения порождены синусоидами иной частоты. Но конкретного алгоритма, это использующего, не знаю. Для МНК получается простенькая регрессия без свободного члена. Или можно через собственные значения матрицы корреляций сигнала в точке и среднего сигналов до и после точки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group