2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Всеукраинская студенческая олимпиада
Сообщение21.05.2008, 11:44 
Аватара пользователя


17/05/08
358
Анк-Морпорк
Олимпиада проводилась с 13 по 19 мая среди студентов 1-5 курсов, длительность - 4 часа

Категория Т - технические вузы

1. Каким условиям должны удовлетворять действительные числа $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c$, чтобы система линейных уравнений
$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
-a_3 x_2 + a_2 x_3 = b_1,\\ 
a_3 x_1 + a_1 x_3 = b_2, \\
-a_2 x_1 + a_1 x_2 = b_3, \\
a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = c
\end{array} \right. 
$
Имела бесконечное множество решений? (7 баллов)

2. На всех сторонах выпуклого шестиугольника $A_1A_2…A_6$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $A_1A_2B_6, A_2A_3B_1, A_3A_4B_2, … A_6A_1B_5$. Доказать, что $\overline{A_1B_1} + \overline{A_2B_2} + … + \overline{A_6B_6} = \overline{O} $ (5 баллов)

3. Даны параболы $y=x^2$ и $y=x^2+1$. Доказать, что хорда первой параболы, которая касается второй параболы, делится точкой касания пополам. (4 балла)

4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$ (7 баллов)

5.Найти все функции $f:R\to R$, которые при любых действительных x,y,z удовлетворяют уравнению $f(x)f(y)f(z)-f(xyz)=xy+yz+xz+x+y+z$ (4 балла)

6.Функция $f(x)$ удовлетворяет условиям: $f(1)=1, f’(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x), }$. Доказать, что существует $ \lim\limits_{n \to \infty} f(x)$ и что этот предел не больше $1+\frac{\pi}{4}$ . (6 баллов)

7.Функция $y=f(x)$ определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что $f(0)=f(1)=0$ и $|f''(x)| \leqslant 1 $ на всём промежутке [0;1]. Доказать, что наибольшее значение, которое может принять максимум $f(x)$ среди всех функций, удовлетворяющих данным условиям, равен $\frac{1}{8}$ (8 баллов)

8.Найти несобственный интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty} \left(\frac{1}{1+x^\alpha} - \frac{1}{1+x^\beta}\right)\frac{1}{x}dx $, где $\alpha, \beta \in R, \alpha>0, \beta>0$ , . (8 баллов)

9. Пусть многочлен $P_n(x)$ степени n с действительными коэффициентами при всех действительных значениях x принимает только положительные значения. Доказать, что этот многочлен можно представить в виде суммы квадратов двух многочленов (6 баллов)

10. Два тела нагрели до $100^0C$, затем пометили в среду, температура которой поддерживается постоянной и равной $0^0C$. Через 10 минут после начала охлаждения тел температура первого снизилась до $80^0C$, а температура второго – до $64^0C$. Через сколько минут с начала охлаждения температура одного из тел будет больше температуры другого на $25^0C$, если скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды? (5 баллов)

Добавлено спустя 1 час 53 минуты 55 секунд:

Категория М – вузы и факультеты с углублённой математикой
1. См. 1Т (7 баллов)

2. На всех сторонах выпуклого n-угольника $A_1A_2…A_n$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $A_1A_2B_n, A_2A_3B_1, A_3A_4B_2, … A_nA_1B_{n-1}$. Доказать, что $\overline{A_1B_1} + \overline{A_2B_2} + … + \overline{A_nB_n} = \overline(O) $ (5 баллов)

3. Даны параболы $y=x^2$ и $y=x^2+m$. В каком отношении хорда первой параболы, которая касается второй параболы, делится точкой касания? (4 балла)

4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=5a_{n-1}-4a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{4^n}$ (7 баллов)

5. Найти все функции $f:R\to R$, которые при любых действительных x, y удовлетворяют уравнению $f(x)f(y)-f(xy)=xy+x+y-1$ (4 балла)

6. См. 6Т (5 баллов)

7. См. 7Т (8 баллов)

8. Найти несобственный интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty} \left(\frac{1}{1+x^\alpha} - \frac{1}{1+x^\beta}\right)\frac{1}{x}dx $, где $\alpha, \beta \in R, \alpha\beta>0$. (7 баллов)

9. См. 7Т (6 баллов)

10. Решить дифференциальное уравнение $\frac{2}{3}xyy’=\sqrt{x^6-y^4}+y^2$ (7 баллов)

Категория С – вузы с 1 годом изучения математики
1. См. 1Т (7 баллов)

2. На всех сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1, BCA_1, CAB_1$. Доказать, что $\overline{AA_1} + \overline{BB_1} + \overline{CC_1} = \overline{O} $ (5 баллов)

3. Доказать, что отрезок любой касательной к равнобокой гиперболе, лежащиё между её асимптотами, делится точкой касания пополам. (4 балла)

4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n}$ (7 баллов)

5. Найти все функции $f:R\to R$, которые при любых действительных x, y удовлетворяют уравнению $f\left(x-f(y)\right)=1-x-y$ (4 балла)

6. Какие числовые значения может принимать $\lim\limits_{x \to \infty}\left(\frac{x+a^2}{x+b^2}\right)^x$, если $4a^2+b^2+2b\leqslant 3.(6 баллов)

7. Известно, что функция $f(x)$ непрерывна на отрезке [0;1] дифференцируется на промежутке (0;1), $f(0)=4, f(1)=2, f’(x) \geqslant -2$ на всём промежутке [0;1]. Найти функцию $f(x)$ и доказать, что других функций, удовлетворяющих условиям, не существует. (8 баллов)

8. Доказать, что $\int \limits_{0}^{+\infty} \left(\frac{1}{1+x^\alpha} - \frac{1}{1+x^\beta}\right)\frac{1}{x}dx = 0$, где $\alpha, \beta \in R, \alpha>0, \beta>0$. (8 баллов)

9. Найти наименьшее значение функции $f(x)= \int\limits_{-1}^1\left|\sqrt[3]{u}-x\right|du, x \in R $См. 7Т (6 баллов)

10. Двое рабочих изготовили более 29 одинаковых деталей. Количество деталей, изготовленных первым рабочим, уменьшенное на 2, будет более чем в 3 раза превосходить количество деталей, изготовленных вторым рабочим. Утроенное количество деталей, изготовленное первым рабочим, превосходит удвоенное количество деталей, изготовленное вторым рабочим, но меньше 60. Сколько деталей изготовил каждый рабочий? (5 баллов)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.05.2008, 16:48 


17/01/08
110
Одна задача понравилась, остальные чего-то не очень :D

General писал(а):
9. Пусть многочлен $P_n(x)$ степени n с действительными коэжффициентами при всех действительных значениях x принимает только положительные значения. Доказать, что этот многочлен можно представить в виде суммы квадратов двух многочленов (6 баллов)


Из условия следует, что у многочлена нет корней, поэтому он представим в виде произведения квадратных двучленов с отрицательными дискриминантами. Каждый из них - сумма 2-х квадратов, поэтому и произведение тоже.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.05.2008, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3046
Уфа
Kid Kool писал(а):
Из условия следует, что у многочлена нет корней, поэтому он представим в виде произведения квадратных двучленов с отрицательными дискриминантами. Каждый из них - сумма 2-х квадратов, поэтому и произведение тоже.

Красиво! :idea:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.05.2008, 21:09 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Kid Kool писал(а):
Одна задача понравилась, остальные чего-то не очень :D


Ну, это известная задача. Мы её в физматшколе на семинарах решали, когда я там учился.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.05.2008, 22:13 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Профессор Снэйп писал(а):
Ну, это известная задача. Мы её в физматшколе на семинарах решали, когда я там учился.

Думаю, эту задачу решали в школе ещё во времена Гильберта. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.05.2008, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Вообще-то эту задачу слегка упростили. Я помню её в виде
$f(x) \ge 0$
То бишь, вещественные корни могут и быть. И решение чуть удлиняется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.05.2008, 05:44 


15/03/07
128
Категория М
5. Таких $f$ - не существует.
Подставим $x=y=1$, получим $(f(1))^2-f(1)-2=0$ $\Rightarrow f(1)=-1, f(1)=2$
Теперь $x=0,y=1$ $f(0)(f(1)-1)=0 \Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow y-1=0$
для любого $y$.Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Всеукраинская студенческая олимпиада
Сообщение22.05.2008, 07:33 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
General писал(а):
4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$


Тоже довольно стандартная задача.

Имеем

$$
\left(
\begin{array}{c}
a_{n+2} \\ a_{n+1}
\end{array}\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
4 & -3 \\
1 & 0
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{c}
a_{n+1} \\ a_n
\end{array}\right)
$$

откуда

$$
\left(
\begin{array}{c}
a_{n+2} \\ a_{n+1}
\end{array}\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
4 & -3 \\
1 & 0
\end{array}\right)^n
\left(
\begin{array}{c}
a_2 \\ a_1
\end{array}\right)
$$

Далее,

$$
\left(
\begin{array}{cc}
4 & -3 \\
1 & 0
\end{array}\right) = T
\left(
\begin{array}{cc}
3 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) T^{-1}
$$

при

$$
T = 
\left(
\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right)
$$

Вычисляя обратную матрицу, получаем

$$
T^{-1} = 
\left(
\begin{array}{cc}
1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 3/2
\end{array}\right)
$$

и

$$
\left(
\begin{array}{c}
a_{n+2} \\ a_{n+1}
\end{array}\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{cc}
3^n & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 3/2
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{c}
a_2 \\ a_1
\end{array}\right)
$$

Наконец, аккуратно перемножив матрицы, имеем

$$
\left(
\begin{array}{c}
a_{n+2} \\ a_{n+1}
\end{array}\right) = \frac{1}{2}
\left(
\begin{array}{c}
(3^{n+1}-1)a_2 + (3-3^{n+1})a_1 \\
(3^n-1)a_2 + (3-3^n)a_1
\end{array}\right)
$$

Значит, искомый предел равен

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_2-a_1}{6} = \frac{b-a}{6}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Всеукраинская студенческая олимпиада
Сообщение22.05.2008, 07:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Профессор Снэйп писал(а):
General писал(а):
4. Последовательность $\left\{a_n\right\}, n\in N$, задана с помощью рекуррентной формулы $a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}, n \geqslant 3, a_1=a, a_2=b$. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$


Тоже довольно стандартная задача.

Поэтому стандартно из характеристического уравнения $t^2-4t+3=0$ находим корни,
получаем общее решение $a_n=p+q \cdot 3^n$ и из начальных условий находим $q=\frac{b-a}{6}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Всеукраинская студенческая олимпиада
Сообщение22.05.2008, 07:57 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
TOTAL писал(а):
Поэтому стандартно из характеристического уравнения $t^2-4t+3=0$ находим корни,
получаем общее решение $a_n=p+q \cdot 3^n$ и из начальных условий находим $q=\frac{b-a}{6}$


Ну а почему числа $p$ и $q$ существуют? Боюсь, что для обоснования этого факта придётся повторять рассуждения с матрицами.

Может, конечно, матрицу перехода искать и не придётся. Но в доказательстве она всё равно будет фигурировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Всеукраинская студенческая олимпиада
Сообщение22.05.2008, 08:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Профессор Снэйп писал(а):
TOTAL писал(а):
Поэтому стандартно из характеристического уравнения $t^2-4t+3=0$ находим корни,
получаем общее решение $a_n=p+q \cdot 3^n$ и из начальных условий находим $q=\frac{b-a}{6}$


Ну а почему числа $p$ и $q$ существуют? Боюсь, что для обоснования этого факта придётся повторять рассуждения с матрицами.

Обосновать, что $p$ и $q$ однозначно находятся из системы?
$a=p+3q$
$b=p+9q$

 Профиль  
                  
 
 Re: Всеукраинская студенческая олимпиада
Сообщение22.05.2008, 08:05 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
TOTAL писал(а):
Обосновать, что $p$ и $q$ однозначно находятся из системы?
$a=p+3q$
$b=p+9q$


Нет. Обосновать, что найдутся числа $p,q \in \mathbb{R}$, такие что $a_n = p + q3^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Всеукраинская студенческая олимпиада
Сообщение22.05.2008, 08:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Профессор Снэйп писал(а):
Нет. Обосновать, что найдутся числа $p,q \in \mathbb{R}$, такие что $a_n = p + q3^n$.
Такое $a_n$ удовлетворяет уравнению при любых $p$ и $q$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.05.2008, 18:32 


17/01/08
110
Коровьев писал(а):
Вообще-то эту задачу слегка упростили. Я помню её в виде
$f(x) \ge 0$
То бишь, вещественные корни могут и быть. И решение чуть удлиняется.

Да не, просто в случае наличия корней все одночлены должны входить в разложение в четных степенях.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.05.2008, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Kid Kool писал(а):
Коровьев писал(а):
Вообще-то эту задачу слегка упростили. Я помню её в виде
$f(x) \ge 0$
То бишь, вещественные корни могут и быть. И решение чуть удлиняется.

Да не, просто в случае наличия корней все одночлены должны входить в разложение в четных степенях.

Так я и сказал, что "решение чуть удлиняется". Оно и удлинилось на фразу
Цитата:
в случае наличия корней все одночлены должны входить в разложение в четных степенях

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group