2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 10:13 


16/01/14
73
Здравствуйте. Прошу помочь решить следующую задачу. Пусть $V$ есть векторное пространство конечной размерности над полем $\mathbb{Z}_p$; пусть $A$ есть линейный оператор, действующий в этом пространстве, причем $A^p = A$. Нужно показать, что $A$ диагонализируем.

Что получилось: Из условия $A^p=A$ можно вывести, что $\operatorname{Ker} A = \operatorname{Ker} A^k$ и $\operatorname{Im} A = \operatorname{Im} A^k$ для любого натурального $k$. Из этого также можно получить, что $\operatorname{Ker} A \cap \operatorname{Im} A = \emptyset.$ Непонятно, нужно ли это, и в каком направлении двигаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3444
Какое достаточное условие диагонализируемости оператора Вы знаете? В терминах собственных значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
Grabovskiy в сообщении #1211032 писал(а):
Разве что: характеристический полином должен содержать столько корней с учетом кратности, сколько размерности есть у пространства.

Разве это гарантирует совпадение геометрических и алгебраических кратностей собственных значений? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 16:16 
Заслуженный участник


10/01/16
1253
А для каких жордановых клеток $A$ это
Grabovskiy в сообщении #1210952 писал(а):
ичем $A^p = A$.

верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 16:41 


16/01/14
73
Brukvalub в сообщении #1211037 писал(а):
Разве это гарантирует совпадение геометрических и алгебраических кратностей собственных значений? :shock:


Плюс совпадение геометрических и алгебраических кратностей. Но у меня не получается из этого вывести утверждение, и других способов я не нахожу. Если доказывать по индукции, то проблема возникает в самом начале: непонятно, почему собственные числа могут существовать. Может, из $A^p = A$ как-то следует существование собственных чисел?

DeBill в сообщении #1211086 писал(а):
А для каких жордановых клеток $A$ это


Но тут ведь не алгебраически замкнутое поле, а жорданова форма, насколько мне известно, есть только в случае алгебраически замкнутых полей

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 17:04 
Заслуженный участник


10/01/16
1253
Grabovskiy в сообщении #1211095 писал(а):
есть только в случае алгебраически замкнутых поле

Нда, Вы правы. Может, рассмотреть расширение поля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3444
Padawan в сообщении #1210974 писал(а):
Какое достаточное условие диагонализируемости оператора Вы знаете? В терминах собственных значений.

Немного не то спросил. Имел ввиду, что достаточно наличия $n$ различных собственных значений, где $n$ - размерность пространства. Тут это никаким боком.

Лучше так:

Вспомните такие понятия как аннулирующий многочлен, минимальный многочлен. А также вот эту теорему http://sernam.ru/book_matrix.php?id=43 (Гантмахер Теория матриц).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: svv


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group