2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 10:13 


16/01/14
73
Здравствуйте. Прошу помочь решить следующую задачу. Пусть $V$ есть векторное пространство конечной размерности над полем $\mathbb{Z}_p$; пусть $A$ есть линейный оператор, действующий в этом пространстве, причем $A^p = A$. Нужно показать, что $A$ диагонализируем.

Что получилось: Из условия $A^p=A$ можно вывести, что $\operatorname{Ker} A = \operatorname{Ker} A^k$ и $\operatorname{Im} A = \operatorname{Im} A^k$ для любого натурального $k$. Из этого также можно получить, что $\operatorname{Ker} A \cap \operatorname{Im} A = \emptyset.$ Непонятно, нужно ли это, и в каком направлении двигаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 11:21 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
Какое достаточное условие диагонализируемости оператора Вы знаете? В терминах собственных значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
Grabovskiy в сообщении #1211032 писал(а):
Разве что: характеристический полином должен содержать столько корней с учетом кратности, сколько размерности есть у пространства.

Разве это гарантирует совпадение геометрических и алгебраических кратностей собственных значений? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 16:16 
Заслуженный участник


10/01/16
1382
А для каких жордановых клеток $A$ это
Grabovskiy в сообщении #1210952 писал(а):
ичем $A^p = A$.

верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 16:41 


16/01/14
73
Brukvalub в сообщении #1211037 писал(а):
Разве это гарантирует совпадение геометрических и алгебраических кратностей собственных значений? :shock:


Плюс совпадение геометрических и алгебраических кратностей. Но у меня не получается из этого вывести утверждение, и других способов я не нахожу. Если доказывать по индукции, то проблема возникает в самом начале: непонятно, почему собственные числа могут существовать. Может, из $A^p = A$ как-то следует существование собственных чисел?

DeBill в сообщении #1211086 писал(а):
А для каких жордановых клеток $A$ это


Но тут ведь не алгебраически замкнутое поле, а жорданова форма, насколько мне известно, есть только в случае алгебраически замкнутых полей

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 17:04 
Заслуженный участник


10/01/16
1382
Grabovskiy в сообщении #1211095 писал(а):
есть только в случае алгебраически замкнутых поле

Нда, Вы правы. Может, рассмотреть расширение поля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диагонализация A^p = A
Сообщение20.04.2017, 17:06 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
Padawan в сообщении #1210974 писал(а):
Какое достаточное условие диагонализируемости оператора Вы знаете? В терминах собственных значений.

Немного не то спросил. Имел ввиду, что достаточно наличия $n$ различных собственных значений, где $n$ - размерность пространства. Тут это никаким боком.

Лучше так:

Вспомните такие понятия как аннулирующий многочлен, минимальный многочлен. А также вот эту теорему http://sernam.ru/book_matrix.php?id=43 (Гантмахер Теория матриц).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group