2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 11:28 


11/04/17
6
Здравствуйте!
Помогите довести решение задания до конца:
Вычислить площадь части сферы $x^2+y^2+z^2=4$, вырезанной цилиндром $x^2+y^2-2y=0$.

Кратные интегралы мы ещё не проходили. Но, поискав в учебниках, я нашла формулку для вычисления этой площади: $S=2\iint\limits_{D}{\sqrt {1+(z'_{{\mathbf {x}}})^2+(z'_{{\mathbf {y}}})^2}  dxdy$.
Я нашла производные по $ x $ и по $y $, подставила их в интеграл, и вот что у меня получилось: $S=4\iint\limits_{D}{\frac {dxdy}{\sqrt {4-x^2-y^2}}}}$.
Как теперь вычислить этот интеграл? Насколько я понимаю, нужно перейти к полярным координатам? Как тогда расставить пределы в этом интеграле?
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 15:16 
Заслуженный участник


23/07/08
7405
Харьков
$D$ — это область в $\mathbb R^2$. Что она представляет собой в Вашем случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 15:53 


11/04/17
6
svv в сообщении #1210164 писал(а):
$D$ — это область в $\mathbb R^2$. Что она представляет собой в Вашем случае?

Если я всё правильно поняла, то область $D $ - это окружность радиусом $1$: $x^2+(y-1)^2=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 16:14 
Заслуженный участник


23/07/08
7405
Харьков
Да, правильно (только круг, а не окружность).
И если мы хотим простых пределов интегрирования, начало полярной системы координат надо брать в центре этого круга — точке $(0, 1)$.
Сможете выразить декартовы координаты $x, y$ через такие полярные? Формулы будут чуточку нестандартные, но думаю, Вы справитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 16:43 


11/04/17
6
svv в сообщении #1210178 писал(а):
Да, правильно (только круг, а не окружность).
И если мы хотим простых пределов интегрирования, начало полярной системы координат надо брать в центре этого круга — точке $(0, 1)$.
Сможете выразить декартовы координаты $x, y$ через такие полярные? Формулы будут чуточку нестандартные, но думаю, Вы справитесь.

$x=r\cos{\varphi}$, $y=r\sin{\varphi}+1$
Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
Так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение18.04.2017, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3551
По-моему, лучше перейти в стандартные полярные координаты: там и функция очень простая, и область достаточно простая. В итоге интеграл считается очень просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение18.04.2017, 00:19 
Заслуженный участник


16/02/13
2885
Владивосток
RIP в сообщении #1210297 писал(а):
По-моему, лучше перейти в стандартные полярные координаты
Сомневаюсь, чтоб эти два варианта принципиально различались по сложности.
proton4ik в сообщении #1210189 писал(а):
Так?
Так, только зачем же вы остановились? Продолжайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение18.04.2017, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3551
iifat в сообщении #1210301 писал(а):
Сомневаюсь, чтоб эти два варианта принципиально различались по сложности.
Я попробовал. Мне показалось, что для сдвинутых полярных координат интеграл гораздо сложнее получается (после интегрирования по $r$ получается нечто очень страшное, если я не обсчитался).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение18.04.2017, 02:33 
Заслуженный участник


23/07/08
7405
Харьков
Да, не смещать начало проще. proton4ik, приношу извинения, что направил Вас по ложному пути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение19.04.2017, 19:45 


11/04/17
6
С заданием разобралась. Всем огромное за спасибо за помощь!)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ivan_B


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group