2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 11:28 


11/04/17
6
Здравствуйте!
Помогите довести решение задания до конца:
Вычислить площадь части сферы $x^2+y^2+z^2=4$, вырезанной цилиндром $x^2+y^2-2y=0$.

Кратные интегралы мы ещё не проходили. Но, поискав в учебниках, я нашла формулку для вычисления этой площади: $S=2\iint\limits_{D}{\sqrt {1+(z'_{{\mathbf {x}}})^2+(z'_{{\mathbf {y}}})^2}  dxdy$.
Я нашла производные по $ x $ и по $y $, подставила их в интеграл, и вот что у меня получилось: $S=4\iint\limits_{D}{\frac {dxdy}{\sqrt {4-x^2-y^2}}}}$.
Как теперь вычислить этот интеграл? Насколько я понимаю, нужно перейти к полярным координатам? Как тогда расставить пределы в этом интеграле?
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 15:16 
Заслуженный участник


23/07/08
7190
Харьков
$D$ — это область в $\mathbb R^2$. Что она представляет собой в Вашем случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 15:53 


11/04/17
6
svv в сообщении #1210164 писал(а):
$D$ — это область в $\mathbb R^2$. Что она представляет собой в Вашем случае?

Если я всё правильно поняла, то область $D $ - это окружность радиусом $1$: $x^2+(y-1)^2=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 16:14 
Заслуженный участник


23/07/08
7190
Харьков
Да, правильно (только круг, а не окружность).
И если мы хотим простых пределов интегрирования, начало полярной системы координат надо брать в центре этого круга — точке $(0, 1)$.
Сможете выразить декартовы координаты $x, y$ через такие полярные? Формулы будут чуточку нестандартные, но думаю, Вы справитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 16:43 


11/04/17
6
svv в сообщении #1210178 писал(а):
Да, правильно (только круг, а не окружность).
И если мы хотим простых пределов интегрирования, начало полярной системы координат надо брать в центре этого круга — точке $(0, 1)$.
Сможете выразить декартовы координаты $x, y$ через такие полярные? Формулы будут чуточку нестандартные, но думаю, Вы справитесь.

$x=r\cos{\varphi}$, $y=r\sin{\varphi}+1$
Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение17.04.2017, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12872
Москва
Так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение18.04.2017, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3525
По-моему, лучше перейти в стандартные полярные координаты: там и функция очень простая, и область достаточно простая. В итоге интеграл считается очень просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение18.04.2017, 00:19 
Заслуженный участник


16/02/13
2835
Владивосток
RIP в сообщении #1210297 писал(а):
По-моему, лучше перейти в стандартные полярные координаты
Сомневаюсь, чтоб эти два варианта принципиально различались по сложности.
proton4ik в сообщении #1210189 писал(а):
Так?
Так, только зачем же вы остановились? Продолжайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение18.04.2017, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3525
iifat в сообщении #1210301 писал(а):
Сомневаюсь, чтоб эти два варианта принципиально различались по сложности.
Я попробовал. Мне показалось, что для сдвинутых полярных координат интеграл гораздо сложнее получается (после интегрирования по $r$ получается нечто очень страшное, если я не обсчитался).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение18.04.2017, 02:33 
Заслуженный участник


23/07/08
7190
Харьков
Да, не смещать начало проще. proton4ik, приношу извинения, что направил Вас по ложному пути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить площадь части сферы, вырезанной цилиндром
Сообщение19.04.2017, 19:45 


11/04/17
6
С заданием разобралась. Всем огромное за спасибо за помощь!)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group