2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение15.04.2017, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14401
Новомосковск
bayak в сообщении #1209749 писал(а):
Нет, в сферу с выколотыми полюсами.
Я же говорю, что никто не понимает, чего Вы хотите. Ещё раз повторю: если Вы хотите получить определённый ответ, точно, на формальном уровне, определите разбиение плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение16.04.2017, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
bayak в сообщении #1209749 писал(а):
Нет, в сферу с выколотыми полюсами. Надо не уменьшать радиус одной из задающих окружностей тора, а увеличивать до тех пор пока они не сравняются. В итоге получается тор натянутый на сферу.

На стихи не тянет, не осмысленно... Определитесь для себя с тем, что Вам нужно. Может быть, и вопросы отпадут. Про ориентируемость нечетномерных проективных пространств Вам уже сообщили. Дырок (в каком угодно смысле) в накрывающих не бывает, если они не разветвленные и дырок в накрываемом нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение17.04.2017, 19:45 


26/04/08
813
Гродно, Беларусь
Someone в сообщении #1209755 писал(а):
Я же говорю, что никто не понимает, чего Вы хотите. Ещё раз повторю: если Вы хотите получить определённый ответ, точно, на формальном уровне, определите разбиение плоскости.

Похоже я где-то запутался. Давайте начнём сначала. Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это прямое произведение проективной прямой и действительной прямой. Почему я не могу компактифицировать эту плоскость, аккуратно намотав её прямые на окружности единичного радиуса? Ведь если подходить к этому делу формально, то должно получится прямое произведение проективной прямой и окружности.

alcoholist в сообщении #1209828 писал(а):
На стихи не тянет, не осмысленно... Определитесь для себя с тем, что Вам нужно. Может быть, и вопросы отпадут.

Мне нужно компактифицировать 8-мерное псевдоевклидово пространство с нейтральной метрикой, факторизацией его изотропного конуса. Факторизацией изотропных прямых псевдоевклидовой плоскости в букет из двух окружностей получаем тор. С другой стороны, в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой мы имеем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ псевдоевклидовых плоскостей. Следовательно оно компактифицируется в $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3 \times S^1\times S^1$. Вот меня и заинтересовало, что такое произведение проективного пространства на окружность.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение17.04.2017, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5620
bayak в сообщении #1210255 писал(а):
Похоже я где-то запутался. Давайте начнём сначала. Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это прямое произведение проективной прямой и действительной прямой.
Нет, если бы было прямое произведение, прямые бы не пересекались.

bayak в сообщении #1210255 писал(а):
С другой стороны, в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой мы имеем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ псевдоевклидовых плоскостей.
Это тоже вряд ли, тут какое-то обобщение грассманниана должно быть Прямая с положительно определенной метрикой не обязательно лежит в четырехмерном пространстве с положительными ортами. Например, если есть ортогональные векторы $e_1,\dots, e_4$ с $\left<e_1, e_1\right> = \left<e_2, e_2\right> = +1$, $\left<e_3, e_3\right> = \left<e_4, e_4\right> = -1$. Плоскость с базисом $2e_1 + e_3, e_2 + 2e_4$ псевоевклидова, как вы ее получите в Вашей параметризации?

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение17.04.2017, 20:46 


26/04/08
813
Гродно, Беларусь
Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):
Нет, если бы было прямое произведение, прямые бы не пересекались.

Спасибо, и ведь мне намекали на это. Однако можно представить, что прямые не пересекаются в точке, а лишь касаются некой окружности, и тогда получится прямое произведение, а чтобы после компактификации выйти на искомое пространство, достаточно будет стянуть эту окружность в точку.

Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):
как вы ее получите в Вашей параметризации?

Надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение17.04.2017, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14401
Новомосковск
bayak в сообщении #1210255 писал(а):
Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это прямое произведение проективной прямой и действительной прямой.
Проективная прямая — это окружность. Произведение прямой и окружности — это цилиндр.

bayak в сообщении #1210255 писал(а):
Почему я не могу компактифицировать эту плоскость, аккуратно намотав её прямые на окружности единичного радиуса?
Вы употребляете слова, не понимая их смысла. Слово "компактифицировать" означает добавление к пространству новых точек так, чтобы получилось компактное пространство. Никакой факторизации при этом не происходит.

bayak в сообщении #1210255 писал(а):
Мне нужно компактифицировать 8-мерное псевдоевклидово пространство с нейтральной метрикой, факторизацией его изотропного конуса.
Бред какой-то.

bayak в сообщении #1210259 писал(а):
Однако можно представить, что прямые не пересекаются в точке, а лишь касаются некой окружности
И тогда это не плоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение18.04.2017, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
bayak в сообщении #1210255 писал(а):
Вот есть плоскость, состоящая из прямых, пересекающихся в одной точке. Формально это

формально -- это метрическое пространство с угловой метрикой

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение18.04.2017, 19:03 


26/04/08
813
Гродно, Беларусь
Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):
Прямая с положительно определенной метрикой не обязательно лежит в четырехмерном пространстве с положительными ортами.

Согласен, но пара прямых из пространства с положительными ортами задаёт евклидову плоскость, в то время как пара прямых из разных подпространств задаёт псевдоевклидову плоскость. Вместе с тем в этой псевдоевклидовой плоскости есть и прямые, которые задаются линейной комбинацией базиса обоих подпространств, однако они не участвуют в принятой параметризации псевдоевклидовых плоскостей.

alcoholist в сообщении #1210296 писал(а):
формально -- это метрическое пространство с угловой метрикой

Да, вы приводили уже интересный пример как из этого метрического пространства сделать бутылку Клейна. А разве без метрики нельзя обойтись?

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение18.04.2017, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5620
bayak в сообщении #1210485 писал(а):
Согласен, но пара прямых из пространства с положительными ортами задаёт евклидову плоскость, в то время как пара прямых из разных подпространств задаёт псевдоевклидову плоскость. Вместе с тем в этой псевдоевклидовой плоскости есть и прямые, которые задаются линейной комбинацией базиса обоих подпространств, однако они не участвуют в принятой параметризации псевдоевклидовых плоскостей.
Я Вам привел пример псевдоевклидовой плоскости, в которой все прямые задаются линейными комбинациями базиса обоих подпространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение18.04.2017, 21:17 


26/04/08
813
Гродно, Беларусь
Xaositect в сообщении #1210519 писал(а):
Я Вам привел пример псевдоевклидовой плоскости, в которой все прямые задаются линейными комбинациями базиса обоих подпространств.

И в самом деле, что-то я ступил. Какой-то тут другой подход нужен. Может быть из множества плоскостей, порождённых произвольными бивекторами пространства просто вычесть плоскости порождённые бивекторами подпространств?

 Профиль  
                  
 
 Re: факторизация плоскости
Сообщение19.04.2017, 19:10 


26/04/08
813
Гродно, Беларусь
Xaositect в сообщении #1210257 писал(а):
bayak в сообщении #1210255 писал(а):
С другой стороны, в 8-мерном пространстве с нейтральной метрикой мы имеем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ псевдоевклидовых плоскостей.
Это тоже вряд ли, тут какое-то обобщение грассманниана должно быть Прямая с положительно определенной метрикой не обязательно лежит в четырехмерном пространстве с положительными ортами. Например, если есть ортогональные векторы $e_1,\dots, e_4$ с $\left<e_1, e_1\right> = \left<e_2, e_2\right> = +1$, $\left<e_3, e_3\right> = \left<e_4, e_4\right> = -1$. Плоскость с базисом $2e_1 + e_3, e_2 + 2e_4$ псевоевклидова, как вы ее получите в Вашей параметризации?

Позвольте ещё раз вернуться к этому вопросу. Вы справедливо заметили, что что псевдоевклидовых плоскостей больше чем $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$. Однако именно этого количества достаточно, чтобы пробежать все изотропные прямые изотропного конуса без повторений, и поэтому для факторизации изотропного конуса берём всё же не грассманиан, а произведение проективных пространств.

Осталось только выяснить вопрос о том как описать полученное после факторизации пространство. Поскольку все торы пересекаются в одной точке, то я бы предложил прямое произведение $\mathbb{RP}^3\times\mathbb{RP}^3$ и тора с последующим стягиванием первого компонента в точку.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group