2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда
Сообщение19.04.2017, 00:41 


23/12/16
7
Доброго времени суток. Задача: исследовать ряд на сходимость. Ниже приведу два умозаключения, которые приводят к проитвоположным результатам. Подскажите пожалуйста, где (во втором случае) ошибка?
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n \!\!\!\cdot \left( \frac53 \right)^n   $$
1) Вычислим предел общего члена:
$$\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{15n-5}{15n+9} \right)^n \!\! =\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{1-\frac{1}{3n}}{1+\frac{3}{5n}} \right)^n \!\! =\frac{e^{-1/3}}{e^{-3/5}} \neq 0.$$
Так как предел общего члена не равен нулю, то данный ряд расходится.

2) Используем признак сравнения:
$$\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n \!\!\!\cdot \left( \frac53 \right)^n\!\!\leqslant\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n,$$
для последнего испоьзуем радикальный признак Коши:
$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n} \!\! =\frac35 < 1,$$
значит по радикальному признаку Коши исследуюемый ряд сходится $\Rightarrow$ по признаку сравнения исходный ряд тоже сходится.
По всей видимости я допускаю ошибку, когда произвожу сравнение, но сейчас что - то туплю и не могу понять, какую именно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.04.2017, 00:44 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не надо такие темы в "Общих вопросах" размещать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.04.2017, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
Treunos в сообщении #1210641 писал(а):
1) Вычислим предел общего члена:
$$\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{15n-5}{15n+9} \right)^n \!\! =\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{1-\frac{1}{3n}}{1+\frac{3}{5n}} \right)^n \!\! =\frac{e^{-1/3}}{e^{-3/5}} \neq 0.$$

В знаменателе - ошибка в знаке.
Treunos в сообщении #1210641 писал(а):
2) Используем признак сравнения:
$$\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n \!\!\!\cdot \left( \frac53 \right)^n\!\!\leqslant\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n,$$

Неравенство не в ту степь сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.04.2017, 00:52 


23/12/16
7
Brukvalub
Со знаком опечатался. А вот с неравенством огромное Вам спасибо, невнимательность - зло.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Someone, svv


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group