2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда
Сообщение19.04.2017, 00:41 


23/12/16
7
Доброго времени суток. Задача: исследовать ряд на сходимость. Ниже приведу два умозаключения, которые приводят к проитвоположным результатам. Подскажите пожалуйста, где (во втором случае) ошибка?
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n \!\!\!\cdot \left( \frac53 \right)^n   $$
1) Вычислим предел общего члена:
$$\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{15n-5}{15n+9} \right)^n \!\! =\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{1-\frac{1}{3n}}{1+\frac{3}{5n}} \right)^n \!\! =\frac{e^{-1/3}}{e^{-3/5}} \neq 0.$$
Так как предел общего члена не равен нулю, то данный ряд расходится.

2) Используем признак сравнения:
$$\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n \!\!\!\cdot \left( \frac53 \right)^n\!\!\leqslant\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n,$$
для последнего испоьзуем радикальный признак Коши:
$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n} \!\! =\frac35 < 1,$$
значит по радикальному признаку Коши исследуюемый ряд сходится $\Rightarrow$ по признаку сравнения исходный ряд тоже сходится.
По всей видимости я допускаю ошибку, когда произвожу сравнение, но сейчас что - то туплю и не могу понять, какую именно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.04.2017, 00:44 
Модератор


20/03/14
7152
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не надо такие темы в "Общих вопросах" размещать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.04.2017, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12713
Москва
Treunos в сообщении #1210641 писал(а):
1) Вычислим предел общего члена:
$$\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{15n-5}{15n+9} \right)^n \!\! =\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{1-\frac{1}{3n}}{1+\frac{3}{5n}} \right)^n \!\! =\frac{e^{-1/3}}{e^{-3/5}} \neq 0.$$

В знаменателе - ошибка в знаке.
Treunos в сообщении #1210641 писал(а):
2) Используем признак сравнения:
$$\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n \!\!\!\cdot \left( \frac53 \right)^n\!\!\leqslant\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n,$$

Неравенство не в ту степь сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение19.04.2017, 00:52 


23/12/16
7
Brukvalub
Со знаком опечатался. А вот с неравенством огромное Вам спасибо, невнимательность - зло.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group