Определение вещественного числа

[al12345]

ewert в сообщении #1210612 писал(а):

al12345 в сообщении #1210590 писал(а):

расхожая фраза про честный труд vs мелкое жульничество.

Но надо понимать, что за этой фразой стоит. Вовсе не пренебрежение аксиоматикой как таковой, нет (она действительно полезна для "наведения порядка в мозгах"). А чёткое осознание того, что любая аксиоматика без предъявления моделей практически бесполезна, это во-первых. А во-вторых, между прочим, что модели нужны и сугубо теоретически -- для обоснования непротиворечивости аксиоматики.

Полагаю, что еще там стоит тот малоприятный факт, что науке практически неизвестны толковые теории, которые сразу с нуля зародились как аксиоматические.

Впрочем, в соседней теме про мотивации в математике примерно о том же и говорится.

Насколько педагогически-эффективно первое знакомство с действительными числами в виде аксиоматической теории - тоже большой вопрос.

[Dan B-Yallay]

al12345 в сообщении #1210611 писал(а):

Это даже не опечатка, а характер ненордический нестойкий: немного вывело из равновесия манера общения коллеги Арсения.

А вот это зря. Характер ненордический на форуме можно демонстрировать лишь по достижении 1000 содержательных сообщений. А до этого ни-ни.
Вообще-то ув. arseniiv характерен миролюбивыми и добрыми сообщениями. И если Вам что-то показалось не так, возможно в ваших постах есть ответ/причина.

[kp9r4d]

al12345 в сообщении #1210554 писал(а):

А классики начинали с моделей, аксиоматическое построение возникло намного позже. Наверное дураки были, а вот учащиеся им сейчас класс покажут :)

Неплохая логика, предлагаю ещё теорию Галуа на языке многочленов и преобразований Чирнгауза рассказывать, потому что так делал Галуа. А рассказ об эллиптических кривых начинать с эллиптических интегралов.

[al12345]

Dan B-Yallay в сообщении #1210615 писал(а):

al12345 в сообщении #1210611 писал(а):

Это даже не опечатка, а характер ненордический нестойкий: немного вывело из равновесия манера общения коллеги Арсения.

А вот это зря. Характер ненордический на форуме можно демонстрировать лишь по достижении 1000 содержательных сообщений. А до этого ни-ни.
Вообще-то ув. arseniiv характерен миролюбивыми и добрыми сообщениями. И если Вам что-то показалось не так, возможно в ваших постах есть ответ/причина.

Должен признаться в страшном преступлении - у меня есть несколько сотен содержательных сообщений в этом форуме, сделанных лет 5-10 тому назад. После чего я перестал писать, в рамках собственной кампании борьбы с интернет-зависимостью.

Так что я сделал еще один эккаунт, чтобы написать пару сообщений. Но пара уже переросла в 10+, так что пора и с этим эккаунтом завязывать.

-- 18.04.2017, 23:43 --

kp9r4d в сообщении #1210616 писал(а):

al12345 в сообщении #1210554 писал(а):

А классики начинали с моделей, аксиоматическое построение возникло намного позже. Наверное дураки были, а вот учащиеся им сейчас класс покажут :)

Неплохая логика, предлагаю ещё теорию Галуа на языке многочленов и преобразований Чирнгауза рассказывать, потому что так делал Галуа. А рассказ об эллиптических кривых начинать с эллиптических интегралов.

Неплохая логика - это Ваша безграничная экстраполяция ужа на ежа.

Есть масса примеров, когда исторический ход развития науки совершенно неприемлем для преподавания, и теория Галуа - из этой массы. Сказать то же самое про аксиоматическую теорию действительных чисел я не смогу при всем желании сделать Вам приятное.

Кстати - преподавание теории Галуа только как теории расширений полей, без предварительной мотивации и без последующего разбора примеров - тоже занятие мало благодатное. К сожалению, часть примеров и мотивации таки будет очень даже исторической.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

al12345 в сообщении #1210619 писал(а):

Должен признаться в страшном преступлении - у меня есть несколько сотен содержательных сообщений в этом форуме, сделанных лет 5-10 тому назад. После чего я перестал писать, в рамках собственной кампании борьбы с интернет-зависимостью.

Так что я сделал еще один эккаунт, чтобы написать пару сообщений. Но пара уже переросла в 10+, так что пора и с этим эккаунтом завязывать.

С чистосердечным признанием - это не ко мне, а к модераторам. Чем раньше, тем лучше.
Если сильно затянете, они Вам помогут справиться и с интернет зависимостью (по крайней мере в пределах dxdy).

If you know what I mean.

[kp9r4d]

al12345 в сообщении #1210619 писал(а):

Есть масса примеров, когда исторический ход развития науки совершенно неприемлем для преподавания, и теория Галуа - из этой массы. Сказать то же самое про аксиоматическую теорию действительных чисел я не смогу при всем желании сделать Вам приятное.

Ну тогда надо было аргументировать свою точку зрения как-нибудь по-дургому, а не ёрничаньями вида: "Вы что, считаете себя умнее классиков?".

[ewert]

al12345 в сообщении #1210614 писал(а):

Насколько педагогически-эффективно первое знакомство с действительными числами в виде аксиоматической теории - тоже большой вопрос.

Нет вопроса: абсолютно неэффективно. Поскольку тупо не мотивировано.

Но это -- лишь про первое знакомство. При следующих (пусть даже и при не очень строгом изложении предыдущих) уже выйдет приблизительно наоборот.

[al12345]

ewert в сообщении #1210623 писал(а):

al12345 в сообщении #1210614 писал(а):

Насколько педагогически-эффективно первое знакомство с действительными числами в виде аксиоматической теории - тоже большой вопрос.

Нет вопроса: абсолютно неэффективно. Поскольку тупо не мотивировано.

Но это -- лишь про первое знакомство. При следующих (пусть даже и при не очень строгом изложении предыдущих) уже выйдет приблизительно наоборот.

Но пока то речь идет о первом знакомстве.
И не факт, что будет второе.....

-- 18.04.2017, 23:53 --

kp9r4d в сообщении #1210622 писал(а):

al12345 в сообщении #1210619 писал(а):

Есть масса примеров, когда исторический ход развития науки совершенно неприемлем для преподавания, и теория Галуа - из этой массы. Сказать то же самое про аксиоматическую теорию действительных чисел я не смогу при всем желании сделать Вам приятное.

Ну тогда надо было аргументировать свою точку зрения как-нибудь по-дургому, а не ёрничаньями вида: "Вы что, считаете себя умнее классиков?".

Вы адвокат товарища, на реплику которого возник мой ответ?

Скучно с Вами, товарищи, однако. Так что самовыпиливаюсь в инициативном порядке и продолжаю сюда не писать.

[Brukvalub]

al12345 в сообщении #1210590 писал(а):

И еще - выбросьте, пожалуйста, Камынина в топку. Если он Вам чем-то дорог, то оставьте его себе, а детям эту гадость не советуйте.

Для справки - я знаю толк в устрицах, этот аффтар два года читал мне мат.анализ.

Я тоже много лет слушаю Баха. Но вот сочинять фуги так и не выучился.
Сильный аргумент: "я слушал Камынина, ничего не понял, поэтому выбросьте этот учебник".
А я на заре своей преподавательской деятельности работал семинаристом в потоке Леонида Ивановича Камынина, много раз принимал коллоквиумы и экзамены после его лекций, поэтому прекрасно знаю достоинства и недостатки его курса, так что ваши научения мне без надобности.

[al12345]

Brukvalub в сообщении #1210630 писал(а):

al12345 в сообщении #1210590 писал(а):

И еще - выбросьте, пожалуйста, Камынина в топку. Если он Вам чем-то дорог, то оставьте его себе, а детям эту гадость не советуйте.

Для справки - я знаю толк в устрицах, этот аффтар два года читал мне мат.анализ.

Я тоже много лет слушаю Баха. Но вот писАть фуги так и не выучился.
Сильный аргумент: "я слушал Камынина, ничего не понял, поэтому выбросьте этот учебник".
А я на заре своей преподавательской деятельности работал семинаристом в потоке Леонида Ивановича Камынина, много раз принимал коллоквиумы и экзамены после его лекций, поэтому прекрасно знаю достоинства и недостатки его курса, так что ваши научения мне без надобности.

Импринтинг - страшная штука. Вот поэтому и рекомендую учебник Камынина в топку.

На этом прощаюсь окончательно, пока еще что-нибудь [или кого-нибудь] в топку не порекомендовал.

[Odysseus]

В свое время, лично у меня, главная проблема с введением вещественных чисел через аксиомы в учебнике Зорича была аксиома о полноте/непрерывности. Все остальные аксиомы достаточно очевидны: поле + линейное упорядочение + согласование порядка и операций в поле. Но аксиома о полноте это, в каком-то смысле, как пятый постулат Евклида о параллельных прямых. Все остальные постулаты простые и естественные, а это что-то совсем из другой оперы. Подобная аналогия навевается и тем, что есть и другие поля со всеми остальными аксиомами кроме полноты (то же поле рациональных чисел), как есть и другие геометрии. Понятно, что здесь идет речь о пополнении поля через нормирование, но аксиоматически верить в существование такого пополнения как-то не очень комфортно, тем более еще не изучив до этого процедуру пополнения в алгебре в общем виде.

Дело еще и в том, что именно из этой аксиомы следует (и равносильно ей) существование точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества + эквивалентные формулировки типа существования общей точки у стягивающейся системы отрезков, существования предельных точек у бесконечных множеств, сходимость фундаментальных последовательностей. В результате, аксиома о полноте, по-сути, это наиболее важное понятие начального курса анализа, из которого потом выводятся все последующие теоремы о пределах, непрерывных функциях, дифференцировании и т.д. А если не чувствуешь внутренней уверенности в фундаменте и в том, как именно этот фундамент построен, то потом и все здание тебе не кажется прочным и понятным. Фактическая реализация этого пополнения рациональных чисел, например через дедекиндовы сечения, уже элементарно доказывает эту "аксиому", и в дальнейшем чувствуешь себя гораздо увереннее и спокойнее.

[ewert]

al12345 в сообщении #1210631 писал(а):

Вот поэтому и рекомендую учебник Камынина в топку.

А вот так -- не надо. Мало ли что Вам лично не в жилу пришлось.

Я лично, естественно, лекторского мастерства Камынина оценить не могу, т.к. учился в другом городе. И учебника его тоже не читал.

Но зато прекрасно понимаю, как может что-то вызывать раздражение просто по молодости. Меня в своё время сильно раздражали лекции Людвига своей косноязычностью. На фоне остальных блестящих лекторов кафедры (да и не только блестящих, хватало и просто хороших).

Ну и что мне принесло то раздражение?... -- только потерю курса, который я освоил максимум наполовину. А он ведь был одним из основоположников.

[Brukvalub]

Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):

существование точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества

не у любого, а только у НЕПУСТОГО!

Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):

существования предельных точек у бесконечных множеств

А какие предельные точки есть у множества натуральных чисел? Или оно - конечное?

-- Ср апр 19, 2017 00:45:33 --

ewert в сообщении #1210640 писал(а):

А вот так -- не надо. Мало ли что Вам лично не в жилу пришлось.

ewert, не стОит размениваться на споры с троллем! Этот товарисч явился к нам с лозунгом: "пришел, увидел, нахамил", не нужно воспринимать его всерьез.

[ewert]

Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):

ело еще и в том, что именно из этой аксиомы следует (и равносильно ей) существование точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества + эквивалентные формулировки типа существования общей точки у стягивающейся системы отрезков, существования предельных точек у бесконечных множеств, сходимость фундаментальных последовательностей. В результате, аксиома о полноте, по-сути, это наиболее важное понятие начального курса анализа, из которого потом выводятся

Да дело не в том, что они "выводятся". А в том, что они абсолютно необходимы для дальнейшей комфортной работы. И в первую очередь -- необходима полнота в смысле сходимости фундаментальных последовательностей.

И в этом смысле канторов подход наиболее идеен (не говорю уж о том, что он потом оказался наиболее универсальным).

Во, кстати. Сошлюсь на себя, любимого:

ewert в сообщении #1210405 писал(а):

Если нет предела, например, слева, то по некоторой последовательности $a_k\to c-0$ будет $|f(a_{2k+1})-f(a_{2k})|>\varepsilon$.

А это ведь ровно полнота, между прочим.

-- Ср апр 19, 2017 01:56:26 --

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1210643 писал(а):

не у любого, а только у НЕПУСТОГО!

да и у пустого тоже, между кстати, пусть это и несколько парадоксально

[Odysseus]

Brukvalub в сообщении #1210643 писал(а):

Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):

существование точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества

не у любого, а только у НЕПУСТОГО!

Да, конечно.

Brukvalub в сообщении #1210643 писал(а):

Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):

существования предельных точек у бесконечных множеств

А какие предельные точки есть у множества натуральных чисел? Или оно - конечное?

А здесь подразумевалась ограниченность множества (если, впрочем, плюс и минус бесконечности тоже не считать возможными "предельными точками"), как и в формулировке про точные верхние и нижние грани (где если совсем строго, конечно, то ограниченность сверху для верхней грани и снизу для нижней грани). Я выразил общие впечатления, но надо, конечно, более аккуратно выражаться даже в таких случаях.

-- 18.04.2017, 14:18 --

ewert в сообщении #1210650 писал(а):

Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):

ело еще и в том, что именно из этой аксиомы следует (и равносильно ей) существование точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества + эквивалентные формулировки типа существования общей точки у стягивающейся системы отрезков, существования предельных точек у бесконечных множеств, сходимость фундаментальных последовательностей. В результате, аксиома о полноте, по-сути, это наиболее важное понятие начального курса анализа, из которого потом выводятся

Да дело не в том, что они "выводятся". А в том, что они абсолютно необходимы для дальнейшей комфортной работы. И в первую очередь -- необходима полнота в смысле сходимости фундаментальных последовательностей.

Вроде я именно это и написал про дальнейшую комфортную работу. А полнота в смысле сходимости фундаментальных последовательностей это просто одна из эквивалентных формулировок этой аксиомы в случае поля вещественных чисел.

ewert в сообщении #1210650 писал(а):

И в этом смысле канторов подход наиболее идеен (не говорю уж о том, что он потом оказался наиболее универсальным).

С этим я не спорю. Дедекиндовы сечения, конечно, возможны только для линейно упорядоченных полей, типа поля рациональных чисел. Пополнение через фундаментальные последовательности более универсально. Но как говорил Фейнман, хороший физик знает 6-7 эквивалентных формулировок для любой теории. Думаю это полезно и в математике.