2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 21:12 


23/12/16
7
Доброго времени суток. Давеча вычислял простенький интерал и столкнулся с тем, что мой ответ отличается от того, что выдаёт вольфрам и матлаб на аддитивную константу, равную 2. Ниже приведу своё решение, ткните носом в неточность пожалуйста.
$I=\lim\limits_{R \to +\infty }\int\limits_{-R}^{R}{\cfrac{\sin{x}}{x-i}}=\operatorname{Im}\left[ \textmd{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\cfrac{e^{ix}}{x-i}\right]=\operatorname{Im}\left[ 2\pi i \cdot  \operatorname{Res}_{z=i}\cfrac{e^{iz}}{z-i} \right]  =\cfrac{2\pi}{e}$.
В свою очередь пакеты выдают: $I=\cfrac{\pi}{e}$.
Если бы корень лежал на вещественной оси, то там действительно двойка отсутствует в формуле, но здесь же чисто мнимое значение, поэтому что - то не пойму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 21:17 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Исходный интеграл не равен мнимой части следующего: синус, конечно, будет мнимой частью экспоненты, но знаменатель не вещественный на $\mathbb R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 21:22 


23/12/16
7
Otta
Тогда подскажите пожалуйста, как здесь быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 21:28 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Ну например, выделить вещественную и мнимую часть у того, что есть. На сопряженное там домножить. Придумаете.
Хороший рецепт: не пользоваться слепо готовой формулой, а немножко понимать, откуда она берется. Тем более, что в данном случае это одноходовка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 21:35 


23/12/16
7
Otta
Да уже подзабылась теория вычетов.
Большое Вам спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 23:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31000

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1210535 писал(а):
Хороший рецепт: не пользоваться слепо готовой формулой, а немножко понимать, откуда она берется. Тем более, что в данном случае это одноходовка.

Рецепт хороший, но одноходовка (вернее, двухходовка) -- это не про него. "Понимать, откуда берётся" -- это не про домножение на сопряжённое, а про расписывание синуса через экспоненты и замыкание контуров в разных полуплоскостях. Домножение же -- уже чисто технический трюк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 23:37 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368

(Оффтоп)

ewert
Спасибо, я запишу где-нибудь на память.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: svv


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group