2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 21:12 


23/12/16
7
Доброго времени суток. Давеча вычислял простенький интерал и столкнулся с тем, что мой ответ отличается от того, что выдаёт вольфрам и матлаб на аддитивную константу, равную 2. Ниже приведу своё решение, ткните носом в неточность пожалуйста.
$I=\lim\limits_{R \to +\infty }\int\limits_{-R}^{R}{\cfrac{\sin{x}}{x-i}}=\operatorname{Im}\left[ \textmd{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\cfrac{e^{ix}}{x-i}\right]=\operatorname{Im}\left[ 2\pi i \cdot  \operatorname{Res}_{z=i}\cfrac{e^{iz}}{z-i} \right]  =\cfrac{2\pi}{e}$.
В свою очередь пакеты выдают: $I=\cfrac{\pi}{e}$.
Если бы корень лежал на вещественной оси, то там действительно двойка отсутствует в формуле, но здесь же чисто мнимое значение, поэтому что - то не пойму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 21:17 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Исходный интеграл не равен мнимой части следующего: синус, конечно, будет мнимой частью экспоненты, но знаменатель не вещественный на $\mathbb R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 21:22 


23/12/16
7
Otta
Тогда подскажите пожалуйста, как здесь быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 21:28 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Ну например, выделить вещественную и мнимую часть у того, что есть. На сопряженное там домножить. Придумаете.
Хороший рецепт: не пользоваться слепо готовой формулой, а немножко понимать, откуда она берется. Тем более, что в данном случае это одноходовка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 21:35 


23/12/16
7
Otta
Да уже подзабылась теория вычетов.
Большое Вам спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 23:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31190

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1210535 писал(а):
Хороший рецепт: не пользоваться слепо готовой формулой, а немножко понимать, откуда она берется. Тем более, что в данном случае это одноходовка.

Рецепт хороший, но одноходовка (вернее, двухходовка) -- это не про него. "Понимать, откуда берётся" -- это не про домножение на сопряжённое, а про расписывание синуса через экспоненты и замыкание контуров в разных полуплоскостях. Домножение же -- уже чисто технический трюк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл при помошь вычетов
Сообщение18.04.2017, 23:37 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368

(Оффтоп)

ewert
Спасибо, я запишу где-нибудь на память.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group