2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как исследовать экстремаль?
Сообщение17.04.2017, 05:29 
Аватара пользователя


22/06/12
915
Пусть есть интегральный функционал с краевыми условиями
$$
I[x] = \int \limts_0^{\pi/12} (\dot x^2 + 2 x \dot x - 9x^2) \ \mathrm dt, \qquad x(0) = 0, \quad x\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \sqrt{2}.
$$

Уравнение Эйлера для него выглядит так:
$$
2 \ddot x + 2\dot x + 18x - 2 \dot x = 0, \qquad \ddot x + 9x = 0.
$$

Решение уравнения, удовлетворяющее краевым условиям, будет $x(t) = 2 \sin 3t$.

Теперь проварьируем функционал:
$$
\delta I = I[x + h] - I[x] = \int \limits_0^{\pi/12} \Big(2 \dot x \dot h + \dot h^2 + 2x \dot h +2 h \dot x +2 h \dot h - 18 x h - 9 h^2\Big) \ \mathrm dt.
$$

Заметим, что
$$
\int (x \dot h + h \dot x) \ \mathrm dt = \int \mathrm d(xh) = 0,
$$
так как $h$ на краях нуль. Заметим ещё, что $\displaystyle \int h \dot h \ \mathrm dt = 0$ по той же причине. Ещё заметим, что $\displaystyle \int \dot x \dot h \ \mathrm dt = - \int h \ddot x \ \mathrm dt = 9 \int h x \ \mathrm dt$, что следует из уравнения Эйлера. Таким образом, от вариации интеграла остались только рожки да ножки, так как всё остальное уничтожилось:
$$
\delta I = \int \limits_0^{\pi/12} (\dot h^2 - 9h^2) \ \mathrm dt.
$$

В ответе написано, что экстремаль $2 \sin 3t$ доставляет функционалу сильный минимум, то есть $\delta I \geqslant 0$ для любых $h$, но у меня не получается это увидеть из выражения для вариации, так как в принципе $\dot h$ и $\dot h$ могут быть любыми. Как это понять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как исследовать экстремаль?
Сообщение17.04.2017, 08:44 
Аватара пользователя


14/10/13
321
Известно неравенство, которое называют по-разному (то ли Фридрихса, то ли Пуанкаре-Стеклова, то ли ещё как): $$\int\limits_0^l f^2(t)dt \le \left(\frac{l}{\pi}\right)^2\cdot \int\limits_0^l (f')^2(t)dt,$$ если $f(0)=f(l)=0$. У вас получается с большим запасом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как исследовать экстремаль?
Сообщение17.04.2017, 23:27 
Аватара пользователя


22/06/12
915
Пусть $h(t)$ — дифференцируемая на $[\xi, \eta]$ функция, у которой ряд Фурье существует и $h(\eta) = h(\xi) = 0$, $\eta > \xi$. Напишем её тогда в виде
$$
h(t) = h_0 + \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left(a_n \cos \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi} + b_n \sin \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi}\right).
$$

Дифференцируя по $t$, напишем
$$
\dot h(t) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left[-\dfrac{2 \pi n a_n}{\eta - \xi} \right] \sin \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi} + \left[ \dfrac{2 \pi n b_n}{\eta - \xi} \right] \cos \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi}.
$$

Первую квадратную скобку обозначим $b'_n$, вторую $a'_n$. Таким образом,
$$
\dot h(t) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left(b'_n \sin \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi} + a'_n \cos \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi}\right).
$$

Теперь напишем равенства Парсеваля:
$$
\dfrac{1}{\eta - \xi} \int \limits_{\xi}^{\eta} h^2 \ \mathrm dt = h^2_0 + \sum \limits_{n = 1}^\infty \dfrac{a^2_n + b^2_n}{2},
$$
$$
\dfrac{1}{\eta - \xi} \int \limits_{\xi}^{\eta} {\dot h}^2 \ \mathrm dt = \sum \limits_{n = 1}^\infty \dfrac{(a'_n)^2 + (b'_n)^2}{2} = \dfrac{4 \pi^2}{(\eta - \xi)^2}\sum \limits_{n = 1}^{\infty} n^2 \dfrac{a^2_n + b^2_n}{2},
$$
вводя обозначения $l = \eta - \xi$, $S^2_n =\dfrac{a^2_n + b^2_n}{2}$, напишем окончательно
$$
\dfrac{1}{l} \int \limits_{\xi}^{\eta} (\alpha h^2 + \beta {\dot h}^2) \ \mathrm dt = \alpha h^2_0 + \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n \left( \alpha + \dfrac{4 \pi^2 \beta n^2}{l^2}\right),
$$
где $$h_0 = \dfrac{1}{l} \int \limits_{\xi}^{\eta} h \ \mathrm dt.$$

Если положить, что $h_0 = 0$, $\xi = 0$, $\beta = \left(\dfrac{l}{\pi}\right)^2$, $\alpha = -1$, то получим
$$
\dfrac{1}{l} \int \limits_0^l \left[ \left(\dfrac{\pi}{l}\right)^2 {\dot h}^2 - h^2\right] \ \mathrm dt = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n \left(\dfrac{4 \pi^2}{l^2} \dfrac{l^2}{\pi^2} n^2 - 1 \right) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n (4 n^2 - 1) > 0
$$
(неравенство из предыдущего сообщения).

Пользоваться выведенной оценкой удобно, если $h_0 = 0$. С другой стороны, $$h^2_0 = \dfrac{1}{l^2} \left|\int \limits_{\xi}^{\eta} h \ \mathrm dt\right|^2 \leqslant \dfrac{1}{l^2} \int \limits_{\xi}^{\eta} h^2 \ \mathrm dt.$$

Условие сильного экстремума говорит о том, что $\delta I$ знакопостоянна для всех вариаций (либо больше нуля, либо меньше нуля) $h(t)$ таких, что $|h| < \varepsilon$. Тогда следствием будет неравенство $h^2 = |h|^2 < \varepsilon^2$, откуда
$$
h^2_0 \leqslant \dfrac{l \varepsilon^2}{l^2} = \dfrac{\varepsilon^2}{l},
$$
откуда следует, что $h^2_0$ можно сделать сколь угодно маленьким, уменьшая $\varepsilon$. Член же с суммой от $\varepsilon$ не зависит, и поэтому $h_0$ можно при анализе отбросить вовсе, так как оно может быть сделано заведомо меньшим, чем член с суммой.

Возвращаясь к нашим баранам, где $\xi = 0$, $l = \dfrac{\pi}{12}$, $\beta = 1$, $\alpha = -9$, имеем
$$
\dfrac{1}{l} \int \limits_{\xi}^{\eta} ({\dot h}^2 - 9h^2) \ \mathrm dt \sim \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n \left( \dfrac{4 \pi^2 n^2}{\pi^2/144} - 9 \right) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n \left(144 \cdot 4 n^2 - 9 \right) > 0
$$
так как при всех $n$ члены суммы положительны, а знак $\sim$ означает "с точностью до $\varepsilon^2$" в соответствии со сказанным выше. Следовательно, экстремаль даёт минимум.
-----------------------------------------------
Это хорошее рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как исследовать экстремаль?
Сообщение18.04.2017, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
StaticZero в сообщении #1210291 писал(а):
Дифференцируя по $t$, напишем
$$
\dot h(t) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left[-\dfrac{2 \pi n a_n}{\eta - \xi} \right] \sin \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi} + \left[ \dfrac{2 \pi n b_n}{\eta - \xi} \right] \cos \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi}.
$$

Лихо! А вы уверены, что можно вот так запросто почленно дифференцировать ряд Фурье, и ряд из производных сойдется к производной от суммы исходного ряда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как исследовать экстремаль?
Сообщение18.04.2017, 03:13 
Аватара пользователя


22/06/12
915
Хочу на теорему Ляпунова сослаться, так как нам по сути требуется лишь выполнение равенства Парсеваля для формального ряда производной.

В Фихтенгольце (Т. III, 736, с. 648) написано:
Цитата:
Теорема Ляпунова. Какова бы ни была интегрируемая с квадратом $f(x)$, всегда
$$
\lim \limits_{n \to \infty} \delta_n  = 0,
$$
где
$$
\delta_n = \int \limits_{-\pi}^\pi f^2(x) \ \mathrm dx - \pi \left[\dfrac{a^2_0}{2} + \sum \limits_{k = 1}^n (a^2_k + b^2_k)\right].
$$


Там рассматривается функция на $[-\pi, \pi]$, но перевести на нужный язык не очень трудно: там ряд Фурье выглядит, как
$$
f \sim \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_n (a_n \cos nx + b_n \sin nx).
$$
Если обозначить $a_0/2 = A$, то в квадратных скобках первый член будет равен $2A$, и двойку можно вынести за скобку, и тогда там будет стоять $2 \pi \left[ A + \sum \limits_k \dfrac{a^2_k + b^2_k}{2}\right]$. Сделав формальную обобщающую замену $2 \pi \to l$ и поменяв чуть аргументы косинуса и синуса, напишем
$$
\dfrac{1}{l} \int \limits_a^b f^2(x) \ \mathrm dx = A + \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left[a_n \cos \dfrac{2 \pi n x}{l} + b_n \sin \dfrac{2 \pi n x}{l}\right],$$
а больше нам ничего и не нужно, даже сходимости, лишь только наша $\dot h$ интегрируема с квадратом на нужном интервале...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как исследовать экстремаль?
Сообщение18.04.2017, 10:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
StaticZero в сообщении #1210338 писал(а):
Хочу на теорему Ляпунова сослаться, так как нам по сути требуется лишь выполнение равенства Парсеваля для формального ряда производной.

Хорошая мысль!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как исследовать экстремаль?
Сообщение18.04.2017, 11:29 
Заслуженный участник


11/05/08
31275
popolznev в сообщении #1210108 писал(а):
Известно неравенство, которое называют по-разному (то ли Фридрихса, то ли Пуанкаре-Стеклова, то ли ещё как): $$\int\limits_0^l f^2(t)dt \le \left(\frac{l}{\pi}\right)^2\cdot \int\limits_0^l (f')^2(t)dt,$$ если $f(0)=f(l)=0$. У вас получается с большим запасом.

Вот именно что с большим. Это -- точная оценка, основанная на спектральной теории, что в данном случае артиллерия довольно тяжёлая.

Фактически же это некоторая теорема вложения, которую можно получить вполне элементарными средствами. Например, так:
$$|f(x)|=\left|\int\limits_0^xf'(t)dt\right|\leqslant\int\limits_0^x|f'(t)|dt\leqslant\sqrt{\int\limits_0^x|f'(t)|^2dt\cdot\int\limits_0^x1^2dt}\leqslant\sqrt{l\int\limits_0^l|f'(t)|^2dt};$$
$$\int\limits|f(x)|^2dx\leqslant\int\limits_0^ldx\cdot l\int\limits_0^l|f'(t)|^2dt=l^2\int\limits_0^l|f'(t)|^2dt,$$
причём граничного условия достаточно только на одном конце. Оценка, конечно, грубая, но поскольку $l^2$ порядка одной пятнадцатой, то вполне достаточная.

А Фурье, разумеется, от лукавого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как исследовать экстремаль?
Сообщение18.04.2017, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
ewert в сообщении #1210387 писал(а):
А Фурье, разумеется, от лукавого.

Тем не менее, обязательно стОит похвалить ТС за креативность и умение искать различные пути решения задачи!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как исследовать экстремаль?
Сообщение18.04.2017, 11:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31275
Ну, похвалим. Кстати, если уж о точностях: точная оценка для граничного условия только на одном конце - с $\left(\frac{2l}{\pi}\right)^2$ вместо $l^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group