2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Чувствительность к погрешности
Сообщение16.04.2017, 23:10 


01/09/14
247
Пусть $y = \sqrt{2} -1$. Можно написать также $y = (\sqrt{2} + 1)^{-1}$. Какая из двух формул чувствительнее к погрешности при приближённом задании $\sqrt{2}$ в виде конечной десятичной дроби?

Указание. Сравнить модули производных функций $(x-1)$ и $(x+1)^{-1}$.

Я не понял как производные помогут в этом деле. Но ладно, нашёл производные, для $(x-1)$: $y' = 1$ и для $(x+1)^{-1}$: $y' = - \frac {1} {(x+1)^2}$. Получается что для $(x-1)$ влияние погрешности на результат не сильное, а в $(x+1)^{-1}$ влияние сильнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение16.04.2017, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
Charlz_Klug в сообщении #1210013 писал(а):
Я не понял как производные помогут в этом деле.

Как же тогда вы пришли к выводу:
Charlz_Klug в сообщении #1210013 писал(а):
Получается что для $(x-1)$ влияние погрешности на результат не сильное, а в $(x+1)^{-1}$ влияние сильнее?
Наугад?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение16.04.2017, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1483
Москва
Если при подсчете $\sqrt{2}$ у вас ошибка на $\varepsilon$, то ошибка при подсчете $y$ у вас будет $y^\prime(\sqrt{2}) \cdot \varepsilon + o(\varepsilon)$ ($o$ разные для разных способов подсчета). Возьмите достаточно малое $\varepsilon$, чтобы в обоих случаях было $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{10}$. Как теперь можно оценить (сверху и снизу) погрешность первой и второй формул через $\varepsilon$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение17.04.2017, 07:58 


01/09/14
247
Brukvalub в сообщении #1210021 писал(а):
Как же тогда вы пришли к выводу:
Charlz_Klug в сообщении #1210013 писал(а):
Получается что для $(x-1)$ влияние погрешности на результат не сильное, а в $(x+1)^{-1}$ влияние сильнее?
Наугад?
Практически наугад. Рассуждал так: для $(x-1)$ пусть $x_{\text{т}}$ --- точное значение $\sqrt{2}$ если внести погрешность $h$ получим $|x_{\text{т}}-1-(x_{\text{т}}+ h -1)| = |h|$. Для $(x+1)^{-1}$ получаем $|\frac {1} {x_{\text{т}}+1} - \frac {1} {x_{\text{т}} + h +1}| = |\frac {h} {(x_{\text{т}}+1)(x_{\text{т}}+h+1)}|$. Если обозначить $x_{\text{т}}+1 = a$, то получим $|\frac {h} {(x_{\text{т}}+1)(x_{\text{т}}+h+1)}| = |\frac {h} {a(a+h)}| = |\frac {1} {\frac {a^2} {h} + a}|$, то есть в этом случае поведение функции будет сильно зависеть от $h$.

-- 17.04.2017, 09:05 --

mihaild, а тут у меня возникает много вопросов: как вы получили $y^\prime(\sqrt{2}) \cdot \varepsilon + o(\varepsilon)$? Что значит "o" малое от $\varepsilon$ и почему именно $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{10}$, а не $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{2}$ например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение17.04.2017, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1483
Москва
Charlz_Klug в сообщении #1210106 писал(а):
как вы получили $y^\prime(\sqrt{2}) \cdot \varepsilon + o(\varepsilon)$?
Из определения производной.
Charlz_Klug в сообщении #1210106 писал(а):
Что значит "o" малое от $\varepsilon$
Посмотрите в учебнике, это общепринятое обозначение.
Charlz_Klug в сообщении #1210106 писал(а):
почему именно $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{10}$
Потому что это первое пришедшее мне в голову ограничение, с которым нужное рассуждение точно проходит. Можно и что-то другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение22.04.2017, 16:18 


01/09/14
247
Не пойму что надо сделать. Получил для $x-1$: $o(\varepsilon) = 0$, для $\frac {1} {x+1}$: $o(\varepsilon) = \frac {\varepsilon^2} {(\sqrt {2} + 1)^2(\sqrt {2} + 1 + \varepsilon)}$. Потом опять подставил в определение производной и получил: для $x-1$: $\Delta y = \varepsilon$ и для $\frac {1} {x+1}$: $\Delta y = - \frac {1} {\frac {(\sqrt {2} + 1)^2} {\varepsilon} + \sqrt {2} + 1}$. То есть, то же самое, что и при непосредственном подставлении погрешности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение22.04.2017, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1483
Москва
Ну а теперь сравните, в каком случае погрешность больше (при достаточно малых $\varepsilon$).

Вообще еще надо точно сказать, что значит "формула чувствительнее". Если погрешность одной формулы убывает с уточнением приближения быстрее, чем другой - то какая из них чувствительнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение04.05.2017, 18:27 


01/09/14
247
mihaild в сообщении #1211647 писал(а):
Вообще еще надо точно сказать, что значит "формула чувствительнее". Если погрешность одной формулы убывает с уточнением приближения быстрее, чем другой - то какая из них чувствительнее?
Я думаю что первая формула чувствительнее второй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение04.05.2017, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1483
Москва
Charlz_Klug в сообщении #1214097 писал(а):
Я думаю что первая формула чувствительнее второй.
А определение "чувствительности к погрешности" где-нибудь в окрестности условия не встречалось? (потому что термин, кажется, не общеупотребительный, и можно привести аргументы в обе стороны)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение04.05.2017, 18:43 


01/09/14
247
mihaild, в окрестности условия никаких определений не наблюдал. Дальше по тексту приводятся определения погрешностей, но они все сводятся к модулю от разности что должно быть в идеале и что получено в приближении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение04.05.2017, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1483
Москва
Charlz_Klug, ну тогда вопрос "какая формула чувствительнее" придется отложить до тех пор, пока не будет найдено определение "чувствительности". Пока что придется ограничиться просто сравнением самих погрешностей ответов в зависимости от погрешности при вычислении $\sqrt{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение04.05.2017, 19:33 


01/09/14
247
Если взять в качестве $\varepsilon = \frac {\tilde{\varepsilon}} {11}$ то для $x-1$ получаем $\Delta y = \frac {\tilde{\varepsilon}} {11}$, а для $\frac {1} {x+1}$ получаем $\Delta y = \frac {\tilde{\varepsilon}} {(\sqrt{2}+1)(11\sqrt{2}+11+\tilde{\varepsilon})}$. Но $\frac {\tilde{\varepsilon}} {(\sqrt{2}+1)(11\sqrt{2}+11+\tilde{\varepsilon})} < \frac {\tilde{\varepsilon}} {11}$ отсюда делаю вывод что считать способом $\frac {1} {x+1}$ лучше, поскольку расхождение $\Delta y$ получается меньше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group