2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Чувствительность к погрешности
Сообщение16.04.2017, 23:10 


01/09/14
197
Пусть $y = \sqrt{2} -1$. Можно написать также $y = (\sqrt{2} + 1)^{-1}$. Какая из двух формул чувствительнее к погрешности при приближённом задании $\sqrt{2}$ в виде конечной десятичной дроби?

Указание. Сравнить модули производных функций $(x-1)$ и $(x+1)^{-1}$.

Я не понял как производные помогут в этом деле. Но ладно, нашёл производные, для $(x-1)$: $y' = 1$ и для $(x+1)^{-1}$: $y' = - \frac {1} {(x+1)^2}$. Получается что для $(x-1)$ влияние погрешности на результат не сильное, а в $(x+1)^{-1}$ влияние сильнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение16.04.2017, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
Charlz_Klug в сообщении #1210013 писал(а):
Я не понял как производные помогут в этом деле.

Как же тогда вы пришли к выводу:
Charlz_Klug в сообщении #1210013 писал(а):
Получается что для $(x-1)$ влияние погрешности на результат не сильное, а в $(x+1)^{-1}$ влияние сильнее?
Наугад?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение16.04.2017, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1095
Москва
Если при подсчете $\sqrt{2}$ у вас ошибка на $\varepsilon$, то ошибка при подсчете $y$ у вас будет $y^\prime(\sqrt{2}) \cdot \varepsilon + o(\varepsilon)$ ($o$ разные для разных способов подсчета). Возьмите достаточно малое $\varepsilon$, чтобы в обоих случаях было $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{10}$. Как теперь можно оценить (сверху и снизу) погрешность первой и второй формул через $\varepsilon$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение17.04.2017, 07:58 


01/09/14
197
Brukvalub в сообщении #1210021 писал(а):
Как же тогда вы пришли к выводу:
Charlz_Klug в сообщении #1210013 писал(а):
Получается что для $(x-1)$ влияние погрешности на результат не сильное, а в $(x+1)^{-1}$ влияние сильнее?
Наугад?
Практически наугад. Рассуждал так: для $(x-1)$ пусть $x_{\text{т}}$ --- точное значение $\sqrt{2}$ если внести погрешность $h$ получим $|x_{\text{т}}-1-(x_{\text{т}}+ h -1)| = |h|$. Для $(x+1)^{-1}$ получаем $|\frac {1} {x_{\text{т}}+1} - \frac {1} {x_{\text{т}} + h +1}| = |\frac {h} {(x_{\text{т}}+1)(x_{\text{т}}+h+1)}|$. Если обозначить $x_{\text{т}}+1 = a$, то получим $|\frac {h} {(x_{\text{т}}+1)(x_{\text{т}}+h+1)}| = |\frac {h} {a(a+h)}| = |\frac {1} {\frac {a^2} {h} + a}|$, то есть в этом случае поведение функции будет сильно зависеть от $h$.

-- 17.04.2017, 09:05 --

mihaild, а тут у меня возникает много вопросов: как вы получили $y^\prime(\sqrt{2}) \cdot \varepsilon + o(\varepsilon)$? Что значит "o" малое от $\varepsilon$ и почему именно $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{10}$, а не $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{2}$ например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение17.04.2017, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1095
Москва
Charlz_Klug в сообщении #1210106 писал(а):
как вы получили $y^\prime(\sqrt{2}) \cdot \varepsilon + o(\varepsilon)$?
Из определения производной.
Charlz_Klug в сообщении #1210106 писал(а):
Что значит "o" малое от $\varepsilon$
Посмотрите в учебнике, это общепринятое обозначение.
Charlz_Klug в сообщении #1210106 писал(а):
почему именно $o(\varepsilon) < \frac{\varepsilon}{10}$
Потому что это первое пришедшее мне в голову ограничение, с которым нужное рассуждение точно проходит. Можно и что-то другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение22.04.2017, 16:18 


01/09/14
197
Не пойму что надо сделать. Получил для $x-1$: $o(\varepsilon) = 0$, для $\frac {1} {x+1}$: $o(\varepsilon) = \frac {\varepsilon^2} {(\sqrt {2} + 1)^2(\sqrt {2} + 1 + \varepsilon)}$. Потом опять подставил в определение производной и получил: для $x-1$: $\Delta y = \varepsilon$ и для $\frac {1} {x+1}$: $\Delta y = - \frac {1} {\frac {(\sqrt {2} + 1)^2} {\varepsilon} + \sqrt {2} + 1}$. То есть, то же самое, что и при непосредственном подставлении погрешности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение22.04.2017, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1095
Москва
Ну а теперь сравните, в каком случае погрешность больше (при достаточно малых $\varepsilon$).

Вообще еще надо точно сказать, что значит "формула чувствительнее". Если погрешность одной формулы убывает с уточнением приближения быстрее, чем другой - то какая из них чувствительнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение04.05.2017, 18:27 


01/09/14
197
mihaild в сообщении #1211647 писал(а):
Вообще еще надо точно сказать, что значит "формула чувствительнее". Если погрешность одной формулы убывает с уточнением приближения быстрее, чем другой - то какая из них чувствительнее?
Я думаю что первая формула чувствительнее второй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение04.05.2017, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1095
Москва
Charlz_Klug в сообщении #1214097 писал(а):
Я думаю что первая формула чувствительнее второй.
А определение "чувствительности к погрешности" где-нибудь в окрестности условия не встречалось? (потому что термин, кажется, не общеупотребительный, и можно привести аргументы в обе стороны)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение04.05.2017, 18:43 


01/09/14
197
mihaild, в окрестности условия никаких определений не наблюдал. Дальше по тексту приводятся определения погрешностей, но они все сводятся к модулю от разности что должно быть в идеале и что получено в приближении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение04.05.2017, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1095
Москва
Charlz_Klug, ну тогда вопрос "какая формула чувствительнее" придется отложить до тех пор, пока не будет найдено определение "чувствительности". Пока что придется ограничиться просто сравнением самих погрешностей ответов в зависимости от погрешности при вычислении $\sqrt{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чувствительность к погрешности
Сообщение04.05.2017, 19:33 


01/09/14
197
Если взять в качестве $\varepsilon = \frac {\tilde{\varepsilon}} {11}$ то для $x-1$ получаем $\Delta y = \frac {\tilde{\varepsilon}} {11}$, а для $\frac {1} {x+1}$ получаем $\Delta y = \frac {\tilde{\varepsilon}} {(\sqrt{2}+1)(11\sqrt{2}+11+\tilde{\varepsilon})}$. Но $\frac {\tilde{\varepsilon}} {(\sqrt{2}+1)(11\sqrt{2}+11+\tilde{\varepsilon})} < \frac {\tilde{\varepsilon}} {11}$ отсюда делаю вывод что считать способом $\frac {1} {x+1}$ лучше, поскольку расхождение $\Delta y$ получается меньше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: svv


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group