2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение07.04.2017, 14:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Здесь я буду задавать наивные вопросы о топологических группах. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Вторая аксиома отделимости как следствие первой.

Нужно показать, что в топологических группах из первой аксиомы отделимости ("для любых $x \ne y$ найдется окрестность $O_x$ т. $x$ и окрестность $O_y$ т. $y$ такие, что $x \notin O_y, \ y \notin O_x$") следует вторая ("для любых $x \ne y$ найдется окрестность $O_x$ т. $x$ и окрестность $O_y$ т. $y$ такие, что $O_x$ и $O_y$ не пересекаются"). Виро и К. дают такой совет. Применим первую аксиому отделимости к единице группы $e$ и произвольному элементу $x \ne e$. Найдется окрестность единицы $U$ такая, что $x \notin U$. Согласно ранее доказанной теореме, найдется и симметрическая окрестность единицы $V$ такая, что $V^2 \subset U$. Требуется доказать, что $V$ и $xV$ не пересекаются, и из этого вывести хаусдорфовость группы.
С первой частью задания я справился. Действительно, пусть есть $v \in V$ такое, что $xv \in V$. Поскольку $v^{-1} \in V$ в силу симметричности, то $xvv^{-1} = x \in V^2 \subset U$, что противоречит условию. Значит, $xV$ и $V$ не пересекаются.

Проблема со второй частью. Пусть $x \ne y$ - произвольные элементы группы. Как построить их непересекающиеся окрестности? Ну ладно, как минимум один из этих элементов отличен от единицы, пусть это $x$. Найдется симметричная окрестность единицы $V$ такая, что $xV$ и $V$ не пересекаются. Но $V$ - не обязательно окрестность $y$. Конечно, не пересекаются $yxV$ и $yV$, но $yxV$ не обязательно окрестность $x$. И как бы я ни крутил эти $xV$ и $V$, все время пропадают то $x$,то $y$, как в старом мультике про дудочку и кувшинчик.

Как помирить этого волка с этой козой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение07.04.2017, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Anton_Peplov в сообщении #1207246 писал(а):
Конечно, не пересекаются $yxV$ и $yV$, но $yxV$ не обязательно окрестность $x$.
$yx$ и $y$ - это общая ситуация.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение07.04.2017, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Xaositect в сообщении #1207248 писал(а):
$yx$ и $y$ - это общая ситуация.
Что означают эти слова?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение07.04.2017, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Два произвольных элемента группы всегда можно представить в виде $yx$ и $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение07.04.2017, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Да, если мы обозначаем один элемент группы $y$, то любой элемент $a$ можем обозначить как $yx$, положив $x = y^{-1}a$. Но ведь у меня другая задача. Я не могу подбирать $x$ под $y$ по своему усмотрению. Мне надо доказать, что для каждой пары $x \ne y$ найдутся непересекающиеся окрестности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение07.04.2017, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ну постройте окрестности для $e$ и $x^{-1}y$. Потом эти окрестности умножьте слева на $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение07.04.2017, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Anton_Peplov в сообщении #1207256 писал(а):
Я не могу подбирать $x$ под $y$ по своему усмотрению.
Можете, просто Вы запутались в двух соснах буквах, когда нужно три.
Вы доказали, что для любого $x\neq e$ существуют окрестность $e$ и окрестность $x$, не пересекающиеся друг с другом. Теперь возьмем два произвольных элемента $u \neq v$. Вы можете выбрать $x$ и перенести окрестности нужным образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение07.04.2017, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Так, $V$ и $x^{-1}yV$ не пересекаются ($V$ - некоторая симметричная окрестность единицы). Значит, $xV$ и $yV$ не пересекаются. Всё.

-- 07.04.2017, 15:53 --

Написал и увидел совет Someone именно это и написать.

-- 07.04.2017, 15:57 --

Поразительно трудно даются мне даже самые простые доказательства, где надо подобрать что-то специального вида (преобразование, функцию, множитель...). С чем это связано, интересно? С отсутствием практики в символьных вычислениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение07.04.2017, 23:22 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Anton_Peplov в сообщении #1207278 писал(а):
Поразительно трудно даются мне даже самые простые доказательства, где надо подобрать что-то специального вида (преобразование, функцию, множитель...). С чем это связано, интересно? С отсутствием практики в символьных вычислениях?


Ни с чем не связано. Это общее явление, для всех трудное. На самом деле, тут используется некоторый стандартный ход мысли, который Вы, наверное, где-то уже встречали (например, при доказательстве того, что разные смежные классы не пересекаются или совпадают), но который вряд ли у Вас в голове прочно сидел. Потому что для того, чтоб сидел, надо заниматься алгеброй гораздо больше (например, столько, сколько усердный студент матфака, который по алгебре и специализируется). Чего, конечно, в Вашем случае ожидать не приходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение15.04.2017, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Вопрос № 1 закрыт, всем спасибо.

Вопрос № 2. Точки прикосновения.


Пусть $V$ - симметрическая окрестность единицы. Требуется доказать или опровергнуть, что $[V] \subset V^2$ (квадратные скобки означают замыкание).

Вопрос возник по мотивам одной из задач из Виро и К. Подозреваю, что нужно как-то использовать непрерывность произведения и/или функции $f(x) = x^{-1}$. Но как? Все, что я знаю о непрерывных функциях в связи с точками прикосновения - что образы точек прикосновения прообраза являются точками прикосновения образа. Не вижу, чем это может помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение15.04.2017, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Действуйте тупо по определению точки прикосновения, выберите нужную окрестность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение15.04.2017, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Понял. Это то, что я уже доказывал - если $x \notin V^2$, то $xV$ и $V$ не пересекаются. Но, поскольку $V$ - окрестность единицы, то $xV$ - окрестность точки $x$. Итого любая точка $x \notin V^2$ имеет окрестность, не пересекающуюся с $V$ и, значит, не может быть точкой прикосновения $V$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение04.05.2017, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Вопрос № 2 закрыт, спасибо.

Вопрос № 3. Третья аксиома отделимости.


У Виро и К есть теорема 27.Nx. Пусть $e$ - единица топологической группы. Если одноточечное подмножество $\{e\}$ замкнуто, то в группе выполняется третья аксиома отделимости.

Напомню, что третья аксиома отделимости формулируется так. Для любой точки $x$ и любой ее окрестности $O$ найдется такая ее же окрестность $U$, что $[U] \subset O$ (квадратные скобки означают замыкание).

Проблема в том, что мне кажется, будто я доказал третью аксиому отделимости вне всякой связи с замкнутостью множества $\{e\}$. Вероятно, где-то я ошибся, но не вижу, где именно.

Мое доказательство такое. Заметим сначала, что достаточно доказать третью аксиому отделимости для точки $e$. Действительно, пусть для любой окрестности единицы $O_e$ найдется такая ее же окрестность $U_e$, что $[U_e] \subset O_e$. Рассмотрим произвольную точку $x$ и ее окрестность $O_x$. Применим гомеоморфизм $f(y) = x^{-1}y$. Точка $x$ отобразится в $e$, ее окрестность $O_x$ в окрестность единицы $O_e = x^{-1}O$. В ней найдется такая окрестность единицы $U_e$, что $[U_e] \subset O_e$. Применив теперь обратный гомеоморфизм, имеем, что в $O_x$ найдется такая окрестность $U_x$ точки $x$, что $[U_x] \subset O_x$ (поскольку гомеоморфизм сохраняет открытость, замкнутость и отношение $\subset$). Итак, достаточно доказать, что третья аксиома отделимости выполняется для единицы.

Докажем это. Пусть $O$ - произвольная окрестность единицы. Согласно ранее доказанной теореме, найдется симметричная окрестность единицы $V$ такая, что $V^2 \subset O$. Но тогда (см. вопрос № 2) $[V] \subset V^2$ и тем самым $[V] \subset O$. Т.е. для любой окрестности единицы $O$ найдется такая ее же окрестность $V$, что $[V] \subset O$. Третья аксиома отделимости доказана?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение04.05.2017, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Доказательство правильное.
Дело в различиях в терминологии в отношении аксиом отделимости. Обычно третья аксиома подразумевает еще вторую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о топологических группах
Сообщение04.05.2017, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
У Виро и К - нет, не подразумевает. Я специально посмотрел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group