2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:06 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Можно проверить, что при $h\to 0$ формула переходит в известную формулу для сферического зеркала. Это лежит в стороне от собственно задачи, поэтому сделаю сам.

Положим $h=0$, тогда корень равен единице:
$\frac{1}{R-u}-\frac{1}{v-R}=\frac{2}{R}$
Приведём к общему знаменателю слева:
$\frac{v-2R+u}{(v-R)(R-u)}=\frac{2}{R}$
Избавимся от дробей:
$R(v-2R+u)=2(v-R)(R-u)$
$Rv-2R^2+uR=2(vR-R^2-uv+uR)$
Много чего сокращается:
$vR+uR=2uv$
Делим на $uvR$ :
$\frac 1 u+\frac 1 v=\frac 2 R$

guitar15 в сообщении #1209085 писал(а):
разложить корень в ряд
Верно. Нужны два первых слагаемых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:23 


17/03/17
176
После разложения корня получилось
$$1-\frac{h^2}{2R^2}$$
при $h\to 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:26 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
guitar15

(можно поинтересоваться)

Вы корень в ряд как раскладывали? Брали значение в точке, брали производную в точке, подставляли в рад Тейлора... Или как-то иначе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:30 


17/03/17
176
В ряд Тейлора. Также $h$ больше второй степени я исключил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:35 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
guitar15

(полезная формула)

при $a << 1$
$(1 \pm a)^\alpha\sim 1\pm \alpha a$
Запоминается моментально, а потом экономит много времени

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:42 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Подставьте это вместо корня. Ну, а к форме, данной в ответе, это, наверное, приводится аналогично тому, как в моей проверке.

-- Ср апр 12, 2017 22:09:56 --

Кстати, эта формула
guitar15 в сообщении #1208878 писал(а):
$$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{2}{R}+\frac{h^2}{R^2}(\frac{1}{R}-\frac{1}{u})^2$$
правильной быть не может, по двум причинам:
1) В правильную формулу $u$ и $v$ должны входить симметрично (либо её можно привести к симметричному виду). Ведь если пустить лучи в обратном направлении (из $B$ через $M$ в $A$), закон отражения будет соблюдён. Следовательно, формула, которая получится перестановкой $u$ и $v$, должна остаться правильной, но в процитированном варианте это исключено (правая часть изменится, а левая нет).
2) В правой части слагаемое, не зависящее от $h$, и слагаемое, квадратичное по $h$, имеют разную размерность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 22:25 


17/03/17
176
Все получилось !!! Спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group