2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти класс функций, обнуляющих функционал
Сообщение11.04.2017, 17:28 


11/04/17
4
Здравствуйте. У меня возникла следующая проблема из области вариационного вычисления.
Полный функционал моей задачи состоит из двух частей: первая часть нормальная, а вторая содержит перед собой множитель $1/b\rightarrow \infty$. Соответственно, чтобы эта вторая часть не давала расходимости нужно чтобы выполнялось условие:
$R_0(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)+\left[\frac{x}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)\bigr]+R_2(x)\bigl[\left[\frac{d}{dr}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)\bigr]=0$.
Что накладывает условия на функции $dR_0(x)/dx+dR_2(x)/dx+3R_2(x)/x=0$. Для этого случая, исходя из вида задачи, мне удалось "угадать" вид функций $R_0(x),R_2(x). При дальнейшем усложнении рассматриваемой задачи с подбором вида функций, зануляющих расходящуюся часть функционала, возникли проблемы, так как теперь нулю должно быть равно следующее выражение:
$\Bigl[R_0(x)\left[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)+\left[\frac{x}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)\right]+ R_2(x)\bigl[\left[\frac{d}{dr}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)\bigr]\Bigr]\int_{0}^{\infty}(1+Cx^2)^2(R_0(y)^2+R_2(y)^2)y^2dy+ \Bigl[R_0(x)(1+Cx^2)\bigl[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)(1+Cx^2)+\left[\frac{x}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)(1+Cx^2)\bigr]+R_2(x)(1+Cx^2)\bigl[\left[\frac{d}{dr}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)(1+Cx^2)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)(1+Cx^2)\bigr]\Bigr]\int_{0}^{\infty}(R_0(y)^2+R_2(y)^2)y^2dy=0$.

Здесь C - константа. Существуют ли какие-нибудь методы для нахождения функций $R_0(x)$ и $R_2(x)$ , не сводящиеся к их угадыванию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти класс функций, обнуляющих функционал
Сообщение11.04.2017, 22:09 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
У Вас в нескольких местах $\frac{x}{dx}$, а ещё встречается $\frac{d}{dr}$. Поэтому, естественно, мысли такие: «мало того, что выражение сложное, при том, что часто и гораздо более простые дифференциальные уравнения не решаются, так ещё и заведомо неправильное; стоит ли тратить время и силы?»

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти класс функций, обнуляющих функционал
Сообщение11.04.2017, 23:00 


11/04/17
4
Спешить нужно при ловле блох, как говорится... Извиняюсь, не заметил опечаток. Правильный вид такой:
$R_0(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)+\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)\bigr]+R_2(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)\bigr]=0$.
Что накладывает условия на функции $dR_0(x)/dx+dR_2(x)/dx+3R_2(x)/x=0$. Для этого случая, исходя из вида задачи, мне удалось "угадать" вид функций $R_0(x),R_2(x). При дальнейшем усложнении рассматриваемой задачи с подбором вида функций, зануляющих расходящуюся часть функционала, возникли проблемы, так как теперь нулю должно быть равно следующее выражение:
$\Bigl[R_0(x)\left[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)+\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)\right]+ R_2(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)\bigr]\Bigr]\int_{0}^{\infty}(1+Cy^2)^2(R_0(y)^2+R_2(y)^2)y^2dy+ \Bigl[R_0(x)(1+Cx^2)\bigl[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)(1+Cx^2)+\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)(1+Cx^2)\bigr]+R_2(x)(1+Cx^2)\bigl[\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)(1+Cx^2)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)(1+Cx^2)\bigr]\Bigr]\int_{0}^{\infty}(R_0(y)^2+R_2(y)^2)y^2dy=0$.

Для C=0 вид функций $R_0(x),R_2(x)$ известен. Может быть имеет смысл искать для ненулевого С данные функции в виде произведения функций при С=0 на некоторую функцию f(x)? Дальше, как я понимаю, можно пытаться подобрать данную функцию перебором, либо попробовать применить какой-либо алгоритм ( разложить функцию f(x) в ряд по степеням x, и искать коэффициенты в данном разложении, дающие ноль исходного выражения?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти класс функций, обнуляющих функционал
Сообщение11.04.2017, 23:04 


20/03/14
12041
otesanek
Все формулы оформляйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти класс функций, обнуляющих функционал
Сообщение12.04.2017, 00:03 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
otesanek в сообщении #1208857 писал(а):
$R_0(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)+\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)\bigr]+R_2(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)\bigr]=0$.
Что накладывает условия на функции $dR_0(x)/dx+dR_2(x)/dx+3R_2(x)/x=0$.
А как Вы получили второе, более простое условие? Вроде, из первого оно не следует (и наоборот тоже).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group